доказать, что при любом натуральном n число An =n^3+5n делится на 6.
Ответы на вопрос
Ответил Матов
0
Методом мат индукция при n=1 верно ,то при k=n+1
![(n+1)^3+5(n+1) = n^3 + 3n^2 +8n+6 \
n^3+5n+3n^2+3n+6\
n^3+5n=A_{n}\
A_{n} +3n^2+3n+6 = A_{n}+6n^2-3n^2+6n-3n+6 =\A_{n}+6n(n+1)-(3n^2+3n)+6\
A_{n}+6n(n+1)-3n(n+1)+6\
A_{n}+(6n-3n)(n+1)+6\
A_{n}+3n(n+1)+6](https://tex.z-dn.net/?f=%28n%2B1%29%5E3%2B5%28n%2B1%29+%3D+++n%5E3+%2B+3n%5E2+%2B8n%2B6+%5C%0An%5E3%2B5n%2B3n%5E2%2B3n%2B6%5C%0An%5E3%2B5n%3DA_%7Bn%7D%5C%0AA_%7Bn%7D+++%2B3n%5E2%2B3n%2B6+%3D+A_%7Bn%7D%2B6n%5E2-3n%5E2%2B6n-3n%2B6+%3D%5CA_%7Bn%7D%2B6n%28n%2B1%29-%283n%5E2%2B3n%29%2B6%5C%0AA_%7Bn%7D%2B6n%28n%2B1%29-3n%28n%2B1%29%2B6%5C%0AA_%7Bn%7D%2B%286n-3n%29%28n%2B1%29%2B6%5C%0AA_%7Bn%7D%2B3n%28n%2B1%29%2B6 "(n+1)^3+5(n+1) = n^3 + 3n^2 +8n+6 \
n^3+5n+3n^2+3n+6\
n^3+5n=A_{n}\
A_{n} +3n^2+3n+6 = A_{n}+6n^2-3n^2+6n-3n+6 =\A_{n}+6n(n+1)-(3n^2+3n)+6\
A_{n}+6n(n+1)-3n(n+1)+6\
A_{n}+(6n-3n)(n+1)+6\
A_{n}+3n(n+1)+6")
То есть n(n+1) это два последовательных чисел, и хот бя одно из них содержит
число 2 , а так как оно еще умножается на 3 , то оно делиться на 6
то есть все выражение делится на 6 , так как A(n) уже делится , 6 тоже и искомое выражение тоже делится на 6
То есть n(n+1) это два последовательных чисел, и хот бя одно из них содержит
число 2 , а так как оно еще умножается на 3 , то оно делиться на 6
то есть все выражение делится на 6 , так как A(n) уже делится , 6 тоже и искомое выражение тоже делится на 6
Новые вопросы
Математика,
2 года назад
Биология,
10 лет назад