Question

Доказать, что из всех прямоугольников, вписанных в данный круг радиусом  R, наибольшую площадь имеет квадрат.

Answer 1

Пишем функцию площади от длины стороны прямоугольника:
$S(x)=xcdot y\ x^2+y^2=(2R)^2 =>y=sqrt{4R^2-x^2} \ S(x)=xsqrt{4R^2-x^2}$
Находим экстремум:
$S'(x)=sqrt{4R^2-x^2}-frac{x^2}{sqrt{4R^2-x^2}}=frac{4R^2-2x^2}{sqrt{4R^2-x^2}}\ S'(x)>0 <=> 2R^2>x^2 <=> x in(-sqrt{2}R,sqrt{2}R)$
Так, как $x$ это длина стороны он не может получать отрицательные значения, следовательно экстремум всего один $x=sqrt{2}R$
Находим $y$ (хотя одного отношения радиуса к стороне достаточно, чтоб сказать что фигура - квадрат):
$y=sqrt{4R^2-x^2} : x=sqrt{2}R => y=sqrt{4R^2-2R^2}=sqrt{2}R \ x=y$
Что и требовалось доказать.

Answer 2

Уточняю на всякий случай: диагональ вписанного прямоугольника равна диаметру.