Question

Доказать, что если четырехугольник является одновременно вписанным и описанным, то его площадь равна корню из произведения сторон

Answer 1

По формуле Брахмагупты площадь вписанного в окружность четырехугольника равна:
$S = sqrt{(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)}$,
где a, b, c, d - стороны четырёхугольника, p - полупериметр.
Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны, т.е.
a + b = c + d
Уберём из формулы площади полупериметр, зная, что a + b = c + d:

$S = sqrt{(dfrac{1}{2}(a + b + c + d) - a)(dfrac{1}{2}(a + b + c + d) - b)} cdot \ \ sqrt{dfrac{1}{2}(a + b + c + d) - c)(dfrac{1}{2}(a + b + c + d) - d)} = \ \ sqrt{bigg(dfrac{1}{2}bigg )^4(a + b + c -d)(a + b - c + d)(a - b+ c + d)(-a + b + c + d) } = \ \ sqrt{bigg(dfrac{1}{2}bigg )^4(c + d + c -d)(c + d - c + d)(a - b+ a + b)(-a + b + a + b) }= \ \ sqrt{ dfrac{1}{16} 2c cdot 2d cdot 2a cdot 2b } = sqrt{ dfrac{1}{16}cdot 16abcd } = boxed{sqrt{abcd} }$

Answer 2

Слишком длинное решение , Вы забыли про свойство вписанного в окружность четырёхугольника.

Answer 3

вообще-то нет, читайте внимательнее, пожалуйста