Question

Доказать, что данное выражение верно для любого натурального числа n (5 вариант)

Answer 1

$frac{1}{4cdot 5}+frac{1}{5cdot 6}+frac{1}{6cdot 7}+...+frac{1}{(n+3)(n+4)}=frac{n}{4(n+4)}\\\frac{1}{(n+3)(n+4)}=frac{A}{n+3}+frac{B}{n+4}=frac{A(n+4)+B(n+3)}{(n+3)(n+4)}; ; Rightarrow \\1=A(n+4)+B(n+3); ,\\n=-4:; ; 1=Bcdot (-1); ,; ; underline {B=-1}\n=-3:; ; 1=Acdot 1; ,; ; underline {A=1}\\frac{1}{(n+3)(n+4)}=frac{1}{n+3}-frac{1}{n+4}\\frac{1}{4cdot 5}+frac{1}{5cdot 6}+frac{1}{6cdot 7}+...+frac{1}{(n+3)(n+4)}=(frac{1}{4}-frac{1}{5})+(frac{1}{5}-frac{1}{6})+(frac{1}{6}-frac{1}{7})+...+$

$+(frac{1}{n+1}-frac{1}{n+2})+(frac{1}{n+2}-frac{1}{n+3})+(frac{1}{n+3}-frac{1}{n+4})=\\=frac{1}{4}-frac{1}{n+4}=frac{n+4-4}{4(n+4)}=frac{n}{4(n+4)}$