Question

Доказать, что число a=(x-y)²(x+y+1)² делится на 4 при любых целых x и y.

Прошу вас, дать полное решение примера ,а не просто скопировать с другого источника решение ,я это и сам могу сделать.Дам максимум баллов!!!

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пояснение:

$a = (x - y) {}^{2} (x + y + 1) {}^{2} = ((x - y)(x + y + 1)) {}^{2} = \\ = ( {x}^{2} + x - y {}^{2} - y) {}^{2} = (x(x + 1) - y(y +1)) {}^{2}$

Пусть x четен, тогда x(x+1) четно.

Пусть x нечетен, тогда (x+1) четно и => x(x+1) четно.

Аналогично y(y+1) четно.

Значит x(x+1)-y(y+1)=2k четно.

Учитывая это, получим:

$\dfrac{(x(x + 1) - y(y + 1)) {}^{2} }{4} = \dfrac{(2k) {}^{2} }{4} = \dfrac{4k {}^{2} }{4} = k {}^{2}$

Таким образом, мы получили, что исходное число делится на 4 при любых целых x и y.

Задание выполнено!