Доказать что (а -1) (а) (а+1) (а^2 +1 делится на 10
Ответы на вопрос
Пошаговое объяснение:
Для того, чтобы доказать, что выражение (а -1) (а) (а+1) (а^2 +1) делится на 10, мы должны показать, что оно кратно 2 и кратно 5.
Кратность 2:
Очевидно, что один из сомножителей (а -1) и (а+1) имеет четный множитель. Кроме того, умножение двух любых четных чисел дает четное число. Таким образом, выражение (а -1) (а) (а+1) (а^2 +1) является произведением трех последовательных чисел, одно из которых четное, что означает, что оно кратно 2.
Кратность 5:
Рассмотрим возможные остатки при делении элементов последовательности (а -1), (а), (а+1) на 5. Если а кратно 5, то (а -1) и (а+1) нечетны и кратны 2, так как одно из них должно быть четным. Это значит, что (а -1) (а) (а+1) кратно 5.
Если а не кратно 5, то остатки элементов последовательности являются тремя последовательными числами. Но известно, что среди любой тройки последовательных целых чисел найдется число, кратное 3. Таким образом, один из (а -1), (а) и (а+1) будет кратен 3, что означает, что выражение (а -1) (а) (а+1) кратно 3. И, так как 5 и 3 являются взаимно простыми числами, выражение (а -1) (а) (а+1) кратно 5 × 3 = 15.
Но чтобы завершить доказательство того, что выражение (а -1) (а) (а+1) (а^2 +1) кратно 10, мы должны показать, что оно кратно 2 и кратно 5. Числа 2 и 5 являются взаимно простыми числами, следовательно, произведение 2 и 15 дает нам 30, что и доказывает, что выражение (а -1) (а) (а+1) (а^2 +1) кратно 10