Добрый день помогите пожалуйста очень срочно
З вершини А рівнобедреного трикутника АВС (АВ=АС) до площини трикутника проведено перпендикуляр АD завдовжки 4 см. Відстань від точки D до сторони ВС дорівнює √41 см. Знайдіть АС, якщо ВС=24 см.
Ответы на вопрос
Позначимо довжину сторони рівнобедреного трикутника АВС через х. Тоді ВD = CD = (BC - AB) / 2 = (24 - х) / 2.
За теоремою Піфагора в трикутнику АBD маємо:
AD² = AB² - BD² = x² - 16.
Також маємо два подібних трикутники ABD і CDD, тому вони мають спільну відносну сторону ДС. Тоді за відомими відношеннями в подібних трикутниках маємо:
AD / CD = BD / DD,
або
4 / ((24 - x) / 2) = x / DD.
Звідси отримуємо:
DD = 8(x - 24) / (x - 6).
Знову за теоремою Піфагора в трикутнику CDD маємо:
(√41)² = CD² + DD² = ((24 - x) / 2)² + (8(x - 24) / (x - 6))².
Після розкриття дужок, спрощень та скорочень маємо рівняння:
425(x² - 36x + 216) = 16x⁴ - 512x³ + 8832x² - 57600x.
Розв'язуючи це рівняння (наприклад, за допомогою методу розділення змінних), отримуємо два корені: x = 12 та x ≈ 28.825.
Оскільки тривимірність задачі не дозволяє знайти зайвий корінь, ми припустимо, що x = 12. Тоді з теореми Піфагора в трикутнику АВС маємо:
AC² = AB² + BC² = x² + 24² = 720,
тобто
AC = √720 ≈ 26.83.
Отже, АС ≈ 26.83 см.