Question

для всіх додатніх a b c d доведіть що $frac{a}{b}+frac{b}{c}+frac{c}{d}+frac{d}{a} geq 4$

Answer 1

Скористаємось нерівністю Коші

a/b + b/c ≥ 2√(a/b·b/c); a/b + b/c ≥ 2√(a/c);

c/d + d/a ≥ 2√(c/d·d/a); c/d + d/a ≥ 2√(c/a);

a/b + b/c + c/d + d/a ≥ 2√(a/c) + 2√(c/a) ≥ 2√(2√(a/c) · 2√(c/a))

a/b + b/c + c/d + d/a ≥ 4√(√((a/c) · (c/a)));

a/b + b/c + c/d + d/a ≥ 4√(√1);

a/b + b/c + c/d + d/a ≥ 4

Answer 2

Воспользуемся неравенством Коши для среднего арифметического и среднего геометрического n неотрицательных чисел $a_1, a_2,ldots , a_n:$

$frac{a_1+a_2+ldots + a_n}{n}ge sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n},$

которое можно переписать в виде

$a_1+a_2+ldots + a_nge ncdot sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}.$

В нашем случае получаем

$frac{a}{b}+frac{b}{c}+frac{c}{d}+frac{d}{a}ge 4cdot sqrt[4]{frac{a}{b}cdotfrac{b}{c}cdotfrac{c}{d}cdotfrac{d}{a}}=4$