Question

Для любого числа х и функции f выполняется соотношение f (2x - 1 ) = 1- 4x². Найдите разность между наибольшим и наименьшим значением f (x) при х € [ -3 ; 0].

Answer 1

$f (2x - 1 ) = 1- 4x^2$

Преобразуем:

$f (2x - 1 ) = 1- 4x^2=(1-2x)(1+2x)=$

$=-(2x-1)(2x+1)=-(2x-1)(2x-1+2)$

Таким образом, функция выражена через аргумент:

$f (\underline{\underline{2x - 1}} ) = -(\underline{\underline{2x - 1}})(\underline{\underline{2x - 1}}+2)$

Выполняя замену $w=2x-1$, получим:

$f (w ) = -w(w+2)$

Поскольку буква, выполняющая роль аргумента не важна, вместо $w$ запишем привычный $x$:

$f (x ) = -x(x+2)$

Вновь преобразуем:

$f (x ) = -x(x+2)=-x^2-2x=-x^2-2x-1+1=$

$=-(x^2+2x+1)+1=-(x+1)^2+1$

График данной функции - парабола ветвями вниз. Вершина параболы располагается в точке $(-1;\ 1)$. При $x\in(-\infty;\ -1]$ функция возрастает; при $x\in[-1; \ +\infty)$ функция убывает.

Заметим, что абсцисса вершины попадает в рассматриваемый отрезок $[-3;\ 0]$.

Таким образом, наибольшее значение как всей функции, так и функции, рассматриваемой на заданном отрезке, равно ординате вершины параболы, то есть 1.

$f_{\max}=1$

Для определения наименьшего значения функции на заданном отрезке найдем значения функции на концах отрезка:

$f(-3)=-(-3+1)^2+1=-(-2)^2+1=-4+1=-3$

$f(0)=-(0+1)^2+1=-1^2+1=-1+1=0$

Значит, наименьшее значение функции на заданном отрезке:

$f_{\min}=-3$

Находим разность между наибольшим и наименьшим значением функции на заданном отрезке:

$f_{\max}-f_{\min}=1-(-3)=4$

Ответ: 4

Answer 2

$f(2x-1)=1-4x^2=(1-2x)(1+2x)=-(2x-1)(2x+1)=\\=-(2x-1)(2x-1+2)\\f(x)=-x(x+2)=-x^2-2x$

Найдём значение функции на концах отрезка:

$f(-3)=-(-3)^2-2 \cdot (-3)=-9+6=-3\\f(0)=0$

Найдём значение функции в точке экстремума (производную искать не нужно, поскольку это простая парабола, точкой экстремума является её вершина, которая лежит между корнями x=0 и x=-2):

$\dfrac{0+(-2)}{2}=\dfrac{-2}{2}=-1\\f(-1)=-(-1)^2-2 \cdot (-1)=-1+2=1$

Тогда разность равна $f(-1)-f(-3)=1-(-3)=1+3=4.$

График приложен к решению.