Question

Для функций f(x)=1-2sin^2(x/2) найдите первообразную,график которой проходит через данную точку М(-п/2;-10)

Answer 1

Первообразной для данной функции $displaystyle f(x)$ называют такую функцию $displaystyle F(x)$, производная которой равна $f$ (на всей области определения $f$), то есть $F(x)' = f(x)$.

Имеем функцию $f(x) = 1 - 2sin^{2}left(dfrac{x}{2} right)$

Упросим данную функцию, воспользовавшись формулой косинуса двойного угла $cos 2alpha = 1 - 2sin^{2}alpha$

Тогда $f(x) = cos x$

Общий вид первообразных для функции $f(x)$ имеет вид: $F(x) = sin x + C$

Определим константу $C$, зная, что график первообразной проходит через точку $M left(-dfrac{pi}{2}; -10 right)$

Таким образом, $-10 = sin left( -dfrac{pi}{2} right) + C$

$-10 = -sindfrac{pi}{2} + C$

$-10 = -1 + C$

$C = -9$

Следовательно, первообразной для функции $f(x)$, график которой проходит через данную точку $M left(-dfrac{pi}{2}; -10 right)$, является $F(x) = sin x - 9$

Ответ: $F(x) = sin x - 9$