Question

Для функції у = 1/cos^2x знайдіть первісну F(x), графік якої проходить через точку (π/4; 6)

Виберіть одну відповідь:
1. F(x) = ctg x + 1
2. F(x) = tg x — 5
3. F(x) = tg x + 45

Answer 1

Ответ: 2

Щоб знайти первісну F(x) для функції у = 1/cos^2x та задовольнити умову, що графік первісної проходить через точку (π/4; 6), ми маємо обчислити неозначений інтеграл цієї функції та додати константу інтегрування, щоб врахувати початкову умову.

Інтегруємо функцію у = 1/cos^2x:

∫(1/cos^2x) dx

Ми можемо скористатися формулою заміни для інтегралу ∫(sec^2u) du = tan(u) + C:

∫(1/cos^2x) dx = ∫sec^2x dx = tan(x) + C

Додамо константу інтегрування C, щоб отримати загальний вигляд первісної F(x):

F(x) = tan(x) + C

Застосуємо початкову умову (π/4; 6):

F(π/4) = tan(π/4) + C = 1 + C

Оскільки точка (π/4; 6) лежить на графіку первісної, то значення F(π/4) повинно дорівнювати 6. Тому, 1 + C = 6.

C = 6 - 1

C = 5

Отже, первісна F(x) для функції у = 1/cos^2x з умовою, що графік проходить через точку (π/4; 6), має вигляд:

F(x) = tan(x) - 5