Question

Дискретная величина X задана плотностью распределения f(x)=$\frac{1}{\pi \sqrt{c^{2}-x^{2} } }$ в интервале (-c;c); вне этого интервала f(x)=0. Найти математическое ожидание X.

Answer 1

Ответ: M[X]=0.

Пошаговое объяснение:

По определению, математическое ожидание M[X]=F(∞)-F(-∞), где F(x)=∫x*f(x)*dx. Так как в нашем случае f(x)=0 при x∉(-c;c), то M[X]=F(c)-F(-c). Находим F(x)=1/π*∫x*dx/√(c²-x²)=-1/(2*π)*∫d(c²-x²)/√(c²-x²)=-1/π*√(c²-x²)+A, где A - произвольная постоянная. Отсюда M[X]=-1/π*√(c²-(-c)²)+A+1/π*√(c²-c²)-A=0.
Замечание: впрочем, и без вычисления интеграла ясно, что он равен 0. Это следует из того, что функция x*f(x) является нечётной, а интервал интегрирования (-c;c) симметричен относительно нуля. А интеграл от нечётной функции по интервалу, симметричному относительно нуля, равен 0.