Question

Дифференцирование сложной функции:
Найти производные следующих функций:

Answer 1

Найти производные функций:
1)y=sin(x³);                           5) y = tg²x
2) y=sin³(x²);                         6) y = ctg(√(ln(x)))
3) y=arcsin(eˣ);
4) y = arctg(lnx);

Решение:
1) y' = (sin(x³))' = cos(x³)·(x³)' = 3x²·cos(x³)
2) y' =(sin³(x²))' = 3sin²(x²)·(sin(x²))'= 3sin²(x²)·cos(x²)·(x²)' =3sin²(x²)·cos(x²)·2x=
6x·sin²(x²)·cos(x²)
3)
 $y'=(arcsin(e^x))' = frac{1}{ sqrt{1-e^{2x}} }cdot(e^x)'= frac{e^x}{ sqrt{1-e^{2x}} }$
4)
$y'=(arctg(lnx))'= frac{1}{1+ln^2x} cdot (lnx)'= frac{1}{xcdot (1+ln^2x)}$
5)
$y' = (tg^2x)'=2tg(x)cdot(tg(x))'=2tg(x)cdot frac{1}{cos^2x}= frac{2sinx}{cos^3x}$
6)
$y' = (ctg( sqrt{lnx}))'= -frac{1}{sin^2( sqrt{lnx})}cdot( sqrt{lnx})'=$$-frac{1}{sin^2( sqrt{lnx})}cdot frac{1}{2 sqrt{lnx} }cdot (lnx)'=-frac{1}{sin^2( sqrt{lnx})}cdot frac{1}{2 sqrt{lnx} }cdot frac{1}{x} =$$-frac{1}{2xcdot sqrt{lnx}cdot sin^2( sqrt{lnx})}$