Question

диагональ равнобокой трапеции длиной 20 см перпендикулярна боковой стороне, длина которой 15 найти площад етой трапеции

Answer 1

Обозначим трапецию АВСД,где ВС и АД-основания трапеции, ВД-диагональ. Угол АВД=90 град. Треугольник АВД-прямоугольный, по теореме Пифагора АД^2=ВД^2+АВ^2=400+225=625; АД=25см. Из вершины угла В опустим высоту ВМ на сторону АД, которая делит основание АД на два отрезка АМ и МД.  Обозначим отрезок АМ=х,тогда отрезок МД=25-х.Чтобы найти отрезок АМ применим среднее пропорциональное ВД=корень квадратный из АД*ДМ; 20=корень квадратный из 25(25-х),возведем обе части уравнения в квадрат,получим 400=625-25х; 25х=225; х=9см(АМ). Найдем сторону ВМ по теореме Пифагора
ВМ^2=АВ^2-АМ^2=225-81=144; ВМ=12см. Из вершины угла С опустим так же высоту СЕ на сторону АД и,так как трапеция равнобедренная,то АМ=ЕД=9см. Найдем сторону ВС. ВС=25-18=7см. Найдем площадь трапеции, она равна  
(ВС+АД)/2*ВМ=(7+25)/2*12=32*6=192см^2
Ответ: S=192 см^2

Answer 2

Дана равнобокая трапеция ABCD. AB=CD=15см - боковые стороны; AC=20см; AC⊥BD.

В прямоугольном ΔACD (∠C=90°) заметим, что AC=5·4см, а CD=5·3см значит, по Египетскому треугольнику AD=5·5=25см.

ΔACD~ΔCND по двум углам (∠CDA - общий; ∠ACD=90°=∠DNC), поэтому

$dfrac{CN}{CD} =dfrac{AC}{AD}$

Откуда $CN=dfrac{15cdot 20}{25} =3cdot 4=12$ см

В прямоугольном ΔCND (∠N=90°) заметим, что CD=3·5см, а CN=3·4см значит, по Египетскому треугольнику ND=3·3=9см.

ΔABM=ΔDCN по гипотенузе и острому углу (AB=CD и ∠BAM=∠CDN т.к. трапеция равнобокая), поэтому AM=ND=9см.

MN=AD-2·ND=25-18=7см

BCNM - прямоугольник, поэтому BC=MN=7см.

S(ABCD) = CN·(BC+AD)/2 = 12см·(7см+25см)/2 = 6·32см² = 192см².

Ответ: 192см².