Question

Даю 99 баллов за решение!
Решить дифф. уравнение

Answer 1

подстановкой
$y''=y' frac{dy'}{dy}$
получаем новое уравнение
$2yy' frac{dy'}{dy}-y'^2+1=0 \ 2yy' frac{dy'}{dy}=y'^2-1 \ frac{2y'}{y'^2-1} dy'= frac{dy}{y}$
интегрируя, получаем
$ln(y'^2-1)=lny+lnC_1 \ y'^2-1=C_1y \ y'^2=C_1y+1 \ y'=frac{dy}{dx}=+ - sqrt{C_1y+1}$
Дифф. уравнение с разделенными переменными решаем стандартным интегрированием.
$frac{dy}{sqrt{C_1y+1}} =+ -dx \ frac{2}{C_1}sqrt{C_1y+1}=+ - x+C_2 \ frac{4}{C_1^2} (C_1y+1)=x^2+ - 2C_2x+C_2^2 \ frac{4}{C_1} y=x^2+ - 2C_2x+C_2^2-frac{4}{C_1^2} \ y= frac{C_1}{4}x^2 + - frac{C_1C_2}{2}x+frac{C_1C_2^2}{4} -frac{1}{C_1}$