Алгебра, вопрос задал Alena21215 , 7 лет назад

Даю 50 баллов!!!!!!!!!!!!!!!!! Вопрос по теории.
Подскажите,какую из формул использовать?
Решая любое тригонометрическое уравнение, я сверяюсь с ответом и иногда он не совпадает с тем, который написан где-либо( число в основе такое же, но оформление ответа другое). Как мне известно, есть общая формула и две другие(есть картинка). Имеет ли значение какой решать? И при каких условиях, какой формулой пользоваться? Если есть исключения- скажите. Или всё равно какую использовать? Я пропустила эту тему, поэтому сложно разобраться. Буду рада за очень подробное объяснение. Разложить всё по полочкам))) Заранее спасибо)
P.s. ответ не в тему=нарушение. Надеюсь на качественный ответ

Приложения:

Ответы на вопрос

Ответил alex6712

Какой формулой пользоваться значения не имеет. На фотографиях представлены решения уравнения $sin(t) = alpha$ .

Если нарисовать числовую окружность, то значение $sin(t) = alpha$ есть координата точки $t$ по оси $oy$ , ведь для любой точки числовой окружности справедливо, что $t(x; : y), : x = cos(t), : y = sin(t)$ , т.е. точка $t in mathbb R$ имеет координаты $(cos(t); : sin(t))$ .

Если провести прямую, параллельную оси $ox$ через точку $sin(t)$ , то она пересечётся с числовой окружностью в каких-то точках.

Чтобы было понятнее, советую нарисовать окружность радиусом $R = 1$ и центром в точке $O(0;0)$ и отмечать всё, о чём я пишу.

Теперь рассмотрим эти точки пересечения.

Если $0<sin(t)<1$ , то пересечения будут в первой и второй четвертях.

Если $-1<sin(t)<0$ , то пересечения будут в третьей и четвёртой четвертях.

Если $sin(t) = 0$ , то пересечений тоже два и это $0$ и $pi$ .

Если $sin(t) = 1$ , то пересечение только одно, при чём точка пересечения будет и точкой касания, и равна она $frac{pi}{2}$ .

Если же $sin(t) = -1$ , то пересечение тоже одно, тоже является точкой касания, но значение равно $-frac{pi}{2}$ .

А теперь вспомним определение арксинуса. Арксинусом числа $alpha$ называют такой угол $t in lbrack 0; : frac{pi}{2}rbrack$ , что $sin(t) = alpha$ . Главное здесь то, что $t$ может быть углом только первой четверти.

Отсюда же следует, что $t=arcsin(alpha),: t in lbrack 0; : frac{pi}{2}rbrack$ .

Это прекрасно работает для $sin(t) = 1$ , ведь $arcsin(1) = frac{pi}{2}$ .

Но только недавно мы проверили, что у нас может быть и не одно, а два решения. Как поступить в случае, если арксинус работает только для углов первой четверти, а нам нужно, чтобы он работал во второй? Ответ прост. $sin(t)$ - это число, а $arcsin(alpha)$ - угол.

Пусть прямая $y= alpha$ пересекается с окружностью в точках $A$ в первой четверти и $B$ во второй четверти, а точку $alpha$ на оси $oy$ мы обзовём $C$ . Рассмотрим треугольники $AOC$ и $BOC$ , в них:

$OC$ - отрезок, лежащий на оси $oy$ , а $AB$ - хорда, параллельная оси $ox$ , значит $OC perp AB$ , по аксиоме о перпендикулярности прямых. Следовательно, треугольники $AOC$ и $BOC$ - прямоугольные по определению.
$OC$ - отрезок, лежащий на радиусе и $OC perp AB$ , значит $AO = OB$ по свойству радиуса.
$OC$ - общая сторона.

Треугольники $AOC$ и $BOC$ равны по двум катетам. Из этого следует и то, что их соответственные углы равны. Т.е. угол $COA$ и угол $BOC$ .

Но углы мы отсчитываем от точки $(0; : 1)$ , обзовём её $K$ . Тогда угол $AOK = frac{pi}{2} - COA$ . А это угол $t$ первой четверти.

$BOK = 2COA + t\2COA + 2t =pi\BOK + t = pi\BOK = pi - t = pi - arcsin(alpha)$

А угол $BOK$ - искомый угол второй четверти.

Как нам известно, все числа на числовой окружности получаются с помощью поворота на определённый угол, пусть $gamma$ - этот угол. И если мы сделаем полный оборот, то мы хоть и придём в ту же самую точку, но вот число уже будет другое, ведь поворачивались мы на другой угол, равный $gamma + 2pi$ . Таким образом, чтобы описать все числа, находящиеся в точке на окружности с координатами $(cos(t);: sin(t))$ надо добавить $2pi n$ , где $n$ - целое (чтобы получились полные обороты).

Вот так и получается первая формула.

Что до второй, то тут всё проще. Выводить её не буду, и так ответ уже километровый. В ней всё работает на чётности $n$ . Если $n$ - чётное, то формула трансформируется в $arcsin(alpha) + 2pi times p, : 2p = n, : p in mathbb{Z}$ , если нечётное, то в $-arcsin(alpha) + pi times (2p+1), : (2p+1) = n, : p in mathbb{Z}$ , ну а $-arcsin(alpha) + pi times (2p+1) = pi - arcsin(alpha) + 2pi times p$ . Т.е. это тоже самое, только записанное в одну строчку. Использовать вторую формулу не советую. Она менее интуитивно понятная. Но если в ней разобраться, то решение уменьшается в размере, это правда.