Question

Даю 50 баллов! Пожалуйста, подробно и все пункты, типа убывающее написали и возрастающее аналогично и не расписывать не надо. А также все 4 пункта, пожалуйста. Спасибо большое за грамотное решение!!!

Answer 1

Докажем, что функция у=k/x  при k>0 убывает. 
То есть будет выполняться свойство: если х₁<x₂ , то y(x₁)>y(x₂) . 
Будем рассматривать два случая, когда  x>0 и  когда x<0. 
Предварительно вспомним, что число а называется большим числа b , если разность (a-b)>0.  Число а называется меньшим числа b, если разность (a-b)<0 .

$1); ; 0 textless x_1 textless x_2; ; to ; ; x_2 textgreater x_1 textgreater 0; ; to ; ; x_2-x_1 textgreater 0; ;; ; k textgreater 0, :\\y(x_1)-y(x_2)=frac{k}{x_1}-frac{k}{x_2}=frac{kcdot (x_2-x_1)}{x_2cdot x_1} textgreater 0; ,$

так как в числителе произведение положительных множителей k>0 и 
(x₂-x₁)>0 даёт положительное выражение, а в знаменателе тоже произведение положительных множителей х₁>0 и x₂>0 даёт положительное выражение. Поэтому вся дробь положительна.
Получили, что при х₁<x₂  имеем  y(x₁)-y(x₂)>0 , а значит  y(x₁)>y(x₂) , то есть функция убывает (по определению).
2)  Теперь рассмотрим, как себя ведёт функция у=k/x при k>0, когда х<0.

$x_1 textless x_2 textless 0; ; to ; ; (x_1-x_2) textless 0; ; to ; ; (x_2-x_1) textgreater 0; ;; k>0\\y(x_1)-y(x_2)=frac{k}{x_1}-frac{k}{x_2}=frac{kcdot (x_2-x_1)}{x_1cdot x_2} textgreater 0; ,$

так как в числителе стоит произведение положительных выражений k>0 и (x₂-x₁)>0, которое даёт положительное выражение, а в знаменателе произведение двух отрицательных выражений x₁<0 и x₂<0 даёт положительное выражение x₁x₂>0. Значит вся дробь положительна.
Получили, что при x₁<х₂  имеем у(х₁)-у(х₂)>0 , а значит у(х₁)>у(х₂),
то есть функция будет убывающей.

Докажем аналогично, что при k<0 функция  у=k/x будет возрастающей.
То есть будет выполняться свойство: если х₁<x₂ , то y(x₁)<y(x₂) .
Опять рассмотрим два случая, когда х>0 и когда х<0 .

$1); ; 0 textless x_1 textless x_2; ; to ; ; x_1-x_2 textless 0; ; to ; ; x_2-x_1 textgreater 0; ;; k textless 0.\\y(x_1)-y(x_2)=frac{k}{x_1}-frac{k}{x_2}=frac{kcdot (x_2-x_1)}{x_1cdot x_2} textless 0; ,$

так как в числителе произведение отрицательного k<0 на
положительное (х₂-х₁)>0 даст отрицательное выражение. В знаменателе получаем положительное выражение х₁х₂>0. Тогда вся дробь будет отрицательна.
Получили, что при х₁<x₂  имеем у(х₁)-у(х₂)<0, то есть у(х₁)<у(х₂). Функция возрастает.
2)  Рассмотрим как ведёт себя функция  y=k/x  при k<0 и х<0.

$x_1 textless x_2 textless 0; ; to ; ; x_1-x_2 textless 0; ; to ; ; x_2-x_1 textgreater 0; ;; k textless 0.\\y(x_1)-y(x_2)=frac{k}{x_1}-frac{k}{x_2}=frac{kcdot (x_2-x_1)}{x_1cdot x_2} textless 0; ,$

так как в числителе произведение отрицательного k<0 и положительной разности (х₂-х₁)>0 даст отрицательный числитель.Произведение двух отрицательных множителей х₁<0 и x₂<0 даст положительный знаменатель. Поэтому вся дробь будет отрицательной.
Получили, что при х₁<x₂ имеем y(x₁)-y(x₂)<0, то есть y(x₁)<y(x₂).
Функция возрастает.

3.160.
  $1); ; y=frac{3}{x}; ,; ; k=3 textgreater 0; ; to ; ; y(x); -; ybuvaet\\2); ; y=-frac{10}{x}; ,; ; k=-10 textless 0; ; to ; ; y(x); -; vozrastaet\\3); ; y=-frac{1}{2x}; ,; ; y=frac{-1/2}{x}; ,; ; k=-frac{1}{2} textless 0; ; to ; ; y(x); -; vozrastaet\\4); ; y=frac{1}{4x}; ,; ; y=frac{1/4}{x}; ,; ; k=frac{1}{4} textgreater 0; ; to ; ; y(x); -; ybuvaet$

Графики функций у=k/x  - это гиперболы.
Графики всех возрастающих функций расположены во 2 и 4 четвертях.
Графики всех убывающих функций расположены в 1 и 3 четвертях.

Answer 2

Спасибо большое за грамотное решение! Спасибо за уделенное время! Благодарю!!!