Question

ДАЮ 20 БАЛЛОВ, СРОЧНО
Cколько 6-значных чисел, кратных 5, можно составить из цифр 0,1,2...9 при условии, что цифры в записи числа не повторяются?

Answer 1

Шестизначное число, кратное 5 – это число, которое оканчивается на 5 или на 0, то есть число вида ABCDE5 или ABCDE0. Чисел обоих видов равное количество, поэтому достаточно посчитать количество чисел вида ABCDE и умножить результат на два. Итого, требуется посчитать число размещений без повторений цифр от 0 до 9 в пяти разрядах. При этом речь идет не просто о наборах цифр, а о числах. Разница состоит в том, что число, состоящее из нескольких знаков, не может начинаться с нуля. Сначала считаем число размещений 10-ти цифр в 5-ти разрядах, а затем вычитаем число размещений, где в первом разряде стоит «0».

10!/(10-5)! = 30240

Считаем, сколько раз в первом разряде встречается цифра «0». Для этого ставим «0» в первый разряд и считаем число размещений в оставшихся 4-х разрядах, но уже без цифры «0» (от 1 до  9). Если поставить «0» в каком-либо из 4-х разрядов, то это будет повтор, поскольку в первом разряде «0» уже стоит.

9!/(9-4)! = 3024

Легко заметить, что полученный результат ровно в 10 раз меньше ранее вычисленного числа размещений в 5 разрядах. Теперь вычисляем разность.

30240 – 3024 = 27216

Искомый результат:

ABCDE5 + ABCDE0 = 27216*2= 54432

Answer 2

Шестизначное число делится на 5, если последняя цифра 0 или 5.

Пусть число оканчивается на 0.

Первую цифру числа можно выбрать 9ю способами (все цифры кроме 0). Вторую цифру числа можно выбрать 8ю способами (все цифры кроме 0 и первой цифры числа). Третью - 7ю способами (все цифры кроме 0 и первых двух из числа). Четвёртую - 6ю способами. Пятую - 5ю способами. Шестая цифра уже выбрана, это 0.

Всего можно составить 9·8·7·6·5 шестизначных чисел, которые оканчиваются на 0 и ни одна цифра в записи числа не повторяется.

Пусть число оканчивается на 5.

Первую цифру числа можно выбрать 8ю способами (все цифры кроме 0 т.к. с нуля начинается только 0 и кроме 5). Вторую цифру числа можно выбрать 8ю способами (все цифры кроме 5 и первой цифры числа). Третью - 7ю способами (все цифры кроме 5 и первых двух из числа). Четвёртую - 6ю способами. Пятую - 5ю способами. Шестая цифра уже выбрана, это 5.

Всего можно составить 8·8·7·6·5 шестизначных чисел, которые оканчиваются на 5 и цифры в записи каждого не повторяются.

Как итог:

9·8·7·6·5+8·8·7·6·5 = 8·7·6·5·(9+8) = 1680·17 = 28560.

Ответ: 28560.