Question

Даю 100 баллов за решение трех задач. Подсобите

Answer 1

1. В прямоугольном треугольнике DCE ∠C = 90°, ∠D = 60°, CE = 3 см. Найдите CD и площадь треугольника.

$S_{DCE} =frac{CDcdot CE}{2}$

Нужно найти чему равен катет CD.

1) $tgalpha =frac{a}{b}$, где а — противолежащий катет, b — прилежащий

$tg60^{o}=frac{3}{CD}\\sqrt{3} =frac{3}{CD}\\CD=frac{3}{sqrt{3}} (cm)$

Находим площадь ΔDCE:

$S=frac{3cdot 3}{2sqrt{3} } =frac{9}{2sqrt{3} } (cm^2)$

Ответ:  $CD=frac{3}{sqrt{3}} cm;$  $S_{DCE}=frac{9}{2sqrt{3}} (cm^2)$  

2. В прямоугольном треугольнике PKT ∠T = 90°, KT = 7 см, PT = 7√3 см. Найдите ∠K и гипотенузу треугольника.

По т. Пифагора находим гипотенузу PK:

$PK= sqrt{PT^2+KT^2}= sqrt{(7sqrt{3} )^2+7^2}=\= sqrt{49cdot 3 + 49} = sqrt{49(3+1)}= sqrt{49} cdot sqrt{4} = 7cdot 2=14 (cm)$

Находит чему равен ∠K

$sinK=frac{PT}{KP}\sinK=frac{7sqrt{3} }{14} = frac{sqrt{3}}{2} = 60^o$

Ответ: PT = 14 см; ∠K = 60°.

3. В равнобедренной трапеции меньшее основание равно 8 см, а высота равна √3 см. Найдите площадь трапеции, если один из ее углов равен 150°.

Обозначим трапецию за ABCD, меньшее основание за BC = 8 см, высоты за BH и BH' = √3 см, ∠B = 150° (при меньшем основании).

BCHH' — прямоугольник, образованный основами и высотами. Отрезки BC = HH' = 8 см.

$S_{ABCD}=frac{BC+AD}{2}cdot BH$

Необходимо  найти большее основание AD.

Т.к. трапеция равнобокая, угли при основания равны. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°. Поэтому сумма углов при большем основании будет равна:

360−(150°+150°) = 360°−300° = 60°

Значит, угол ∠A = ∠D = 60°/2 = 30°

Р-м ΔABH и ΔDCH': прямоугольные, т.к. образованы высотой трапеции; равные, т.к. трапеция ABCD равнобедренная ⇒ AH = DH'.

Отрезок AH выразим с помощью тангенса угла.

$tg30^o=frac{sqrt{3} }{AH} ; frac{1}{sqrt{3} } =frac{sqrt{3} }{AH}\\AH=sqrt{3} cdot sqrt{3}=3 (cm)$

Находим длину большего основания:

$AD=AH+DH'+HH'\AD = 2cdot 3+ 8 = 6+8=14 (cm)$

Находим площадь трапеции:

$S_{ABCD}= frac{8+14}{2}cdot sqrt{3} = 11sqrt{3} (cm^2)$

Ответ: площадь трапеции 11√3 см².