Question

даю 100 баллов
Дано:
2 < x < 4; 3 < у < 6.
Оцініть значення виразу:
1) x+y;
2) ху;
3) 3у -0,5x;
$4)\frac{3}{y} - \frac{2}{x}$
$5) \frac{3y + 4}{2x - 1}$
​

Answer 1

Ответ:

1)  $\displaystyle \bf 5 < x+y < 10$

2)  $\displaystyle \bf 6 < \;xy < 24$

3)  $\displaystyle \bf 7 < 3y-0,5x < 17$

4)  $\displaystyle \bf -\frac{1}{2} < \frac{3}{y}-\frac{2}{x} < \frac{1}{2}$

5)  $\displaystyle \bf \frac{13}{7} < \;\;\;\frac{3y+4}{2x-1} \;\; < \frac{22}{3}$

Объяснение:

Дано:

2 < x < 4; 3 < у < 6.

Оценить значения выражений:

1) x+y;

2) ху;

3) 3у -0,5x;

4)   $\displaystyle \bf \frac{3}{y} -\frac{2}{x}$

5)   $\displaystyle \bf \frac{3y+4}{2x-1}$

• Если сложить или умножить почленно верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.

1) х + у

Сложим неравенства:

$\displaystyle \bf _+2 < \;\;\;x\; \;\; < 4\\\;\;_{ }\;\;3 < \;\;\;y\;\;\; < 6\\-------\\_{}\;5 < x+y < 10$

2) xy

Перемножим неравенства:

$\displaystyle \bf _\times2 < \;\;x \;\; < 4\\\;\;_{ }\;\;3 < \;\;y\;\; < 6\\-------\\_{}\;6 < \;xy < 24$

3) 3y - 0,5x

Оценим 3у:

3 < у < 6   | ·3

• Если все части неравенства умножить на положительное число, то знак неравенства не изменится.

9 < 3y < 18

Оценим (-0,5х)

• Если все части неравенства умножить на отрицательное число, то знак неравенства перевернется.

2 < x < 4   |·(-0,5)

-1 > -0,5x > -2   или -2 < -0,5 < -1

Сложим неравенства:

$\displaystyle \bf _+\;\;\;\;9 < \;\;\;\;\;3y\; \;\; < 18\\\;\;\;\;\;\;_{ }\;\;-2 < \;-0,5x\; < -1\\------------\\_{}\;\;\;\;\;7 < 3y-0,5x < 17$

4)   $\displaystyle \bf \frac{3}{y} -\frac{2}{x}$

Воспользуемся свойством:

• Если a > b > 0, то 1/a < 1/b.

Преобразуем неравенство 3 < у < 6.

$\displaystyle \bf 3 < y < 6\;\;\;|\\\\\frac{1}{3} > \frac{1}{y} > \frac{1}{6} \\ \\\frac{1}{6} < \frac{1}{y} < \frac{1}{3}\;\;\;|\cdot3\\ \\ \frac{1}{2} < \frac{3}{y} < 1$

Теперь преобразуем 2 < x < 4.

$\displaystyle \bf 2 < x < 4\;\;\;|\\\\\frac{1}{2} > \frac{1}{x} > \frac{1}{4} \\ \\\frac{1}{4} < \frac{1}{x} < \frac{1}{2}\;\;\;|\cdot(-2)\\ \\ -\frac{1}{2} > - \frac{2}{x} > - 1\\\\-1 < -\frac{2}{x} < -\frac{1}{2}$

Сложим неравенства:

$\displaystyle \bf _+\;\;\;\;\frac{1}{2} < \;\;\;\frac{3}{y} \;\; < \;\;1\\\;\;\;\;\;\;_{ }\;\;-1 < \;-\frac{2}{x} \;\; < -\frac{1}{2} \\----------\\_{}\;\;-\frac{1}{2} < \frac{3}{y}-\frac{2}{x} < \frac{1}{2}$

5)   $\displaystyle \bf \frac{3y+4}{2x-1}=(3y+4)\cdot\frac{1}{2x-1}$

Преобразуем неравенство 3 < у < 6.

• Если ко все частям неравенства прибавить одно и то же число, то получим верное неравенство.

$\displaystyle \bf 3 < y < 6\;\;\;|\cdot3\\\\9 < 3y < 18\;\;\;|+4\\\\13 < 3y+4 < 22$

Теперь преобразуем 2 < x < 4

$\displaystyle \bf 2 < x < 4\;\;\;|\cdot2\\ \\ 4 < 2x < 8\;\;\;|-1\\\\3 < 2x-1 < 7\\\\\frac{1}{3} > \frac{1}{2x-1} > \frac{1}{7}\\ \\ \frac{1}{7} < \frac{1}{2x-1} < \frac{1}{3}$.

Теперь перемножим полученные неравенства:

$\displaystyle \bf _\times13 < \;\;3y+4 \;\; \; < 22\\\;\;_{ }\;\;\;\frac{1}{7} < \;\;\;\frac{1}{2x-1} \;\; < \frac{1}{3} \\-----------\\_{}\;\frac{13}{7} < \;\;\;\frac{3y+4}{2x-1} \;\; < \frac{22}{3}$