Question

ДАЮ 100 БАЛІВ! У рівнобічній трапеції ABCD (AD II BC) BC=
$\sqrt[4]{3}$
см, AD=
$2 \sqrt[4]{3}$
см, діагоналі перетинаються в точці О і дорівнюють
$3 \sqrt[4]{3}$
см. Обчисліть площу трикутника COD (у см²).​

Answer 1

Ответ:

Площа ΔCOD дорівнює 1,5 см²

Объяснение:

У рівнобічній трапеції ABCD (AD II BC) BC=$\sqrt[4]{3}$ см, AD=$2\sqrt[4]{3}$ см, діагоналі перетинаються в точці О і дорівнюють $3\sqrt[4]{3}$ см. Обчисліть площу трикутника COD (у см²).

Нехай маємо трапецію ABCD (AD||BC), у якої BC=$\sqrt[4]{3}$ см, і AD=$2\sqrt[4]{3}$ см, - основи; AC=BD= $3\sqrt[4]{3}$ - діагоналі, які перетинаються в точці O.

1. Розглянемо ΔCOB і ΔAOD

• ∠COB=∠AOD -  як вертикальні,
• ∠OBC=∠ODA  - як внутрішні різносторонні при паралельних прямих BC, AD і січної BD.

Звідси слідує, що ΔCOB і ΔAOD подібні (за двома кутами), тому їх відповідні сторони пропорційні. Отже,  маємо:

$\sf \dfrac{BC}{AD}=\dfrac{CO}{AO}$

$\sf \dfrac{\sqrt[4]{3}}{2\sqrt[4]{3} }=\dfrac{CO}{AO}$

$\sf \dfrac{1}{2 }=\dfrac{CO}{AO}$

Звідс, АО=2СО

АС=АО+СО=2СО+СО=3СО

АС=$3\sqrt[4]{3}$ - за умовою, тому:

3СО=3$\sqrt[4]{3}$,    ⇒       СО=$\bf\sqrt[4]{3}$ (cм), AO=$2\sqrt[4]{3}$ (см).

Так як  АС=BD, то ВО=$\bf\sqrt[4]{3}$ (cм), OD=$2\sqrt[4]{3}$ (см).

2. Розглянемо ΔВОС.

За теоремою косинусів знайдемо ∠ВОС.

$\sf cos\angle BOC=\dfrac{BO^{2} +CO^{2}-BC^{2} }{2BO\cdotCO}$

$\sf cos\angle BOC=\dfrac{(\sqrt[4]{3} )^{2} +(\sqrt[4]{3} )^{2}-(\sqrt[4]{3} )^{2} }{2\sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{3} } =\dfrac{\sqrt{3} }{2\sqrt{3} } =\bf \dfrac{1}{2}$

Отже, ∠ВОС=60°

Так як ∠ВОС і ∠COD - суміжні, то:

∠COD=180°-∠ВОС=180°-60°=120°

3. Розглянемо ΔCOD

Площа трикутника обчислюється за формулою:

$\bf S=\dfrac{1}{2} \cdot CO \cdot OD \cdot sin \angle COD$

$\sf S=\dfrac{1}{2} \cdot \sqrt[4]{3} \cdot 2 \sqrt[4]{3} \cdot sin 120^\circ=( \sqrt[4]{3})^2 \cdot \dfrac{\sqrt{3} }{2} =\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3} }{2} =\dfrac{3}{2}=\bf 1,5$ (см²)

Відповідь: 1,5 см²

#SPJ1