Question

Даны вершины тетраэдра А(1,2,1), B(2,-3,4), C(-4,5,1), D(-1,2,-3).

Найти:

1).длину ребра АВ 

2)угол между ребрами АВ и АD

3)угол между ребром AD и плоскостью  AB 

4)объем тетраэдра ABCD

5) урвнение ребра AB

6) уравнение плоскости ABCD

7) уравнение высоты,опущенной из D на ABC

8)проекцию точки D  на ABC

9) длину высоты DO

 

Answer 1

1) Вектор АВ=(1,-5,3) ,  |AB|=$sqrt{1+25+9}= sqrt{35}$
5) Уравнение АВ (канокическое): 
$frac{x-1}{1}=frac{y-2}{-5}=frac{z-1}{3}$
2)Вектор АD=(-2,0,-4) , |AD|=$sqrt{4+16}=sqrt{20}=2sqrt{5}\ABcdot{AD}=-2+0-12=-14\cos(AB,AD)=cos alpha =frac{-14}{sqrt{35}cdot{2sqrt{5}}}=frac{-7}{5sqrt{7}}}=-frac{sqrt{7}}{5} , alpha = pi -arccosfrac{sqrt{7}}{5}$
4)Объём пирамиды равен $V=pmfrac{1}{6}(AB,AC,AD)$
(AB,AC,AD) - смешанное произведение векторов = определителю 3-го порядка.
АВ=(1,-5,3), АС=(-5,3,0),A=(-2,0,-4).Составим определитель:
$left[begin{array}{ccc}1&-5&3\-5&3&0\-2&0&-4end{array}right]=1cdot{(-12-0)+5(20-0)+3(0+6)=106$
V=106/6
6)Ищем нормальный вектор плоскости АВС как векторное произведение векторов АВ и АС:
$[AB,AC]= left[begin{array}{ccc}i&j&k\1&-5&3\-5&3&0end{array}right]=i(0-9)-j(0+15)+k(3-25)=$
$=-9i-15j-22k , n=(9,15,22)$
Уравнение плоскости АВС:
9(х-1)+15(у-2)+22(z-1)=0,
9x+15y+22z-61=0
7) Уравнение высоты из точки D на пл. АВС.Направляющим вектором для DO будет нормальный вектор пл.АВС, тогда имеем каноническое уравнение DO:
$frac{x+1}{9}=frac{y-2}{15}=frac{z+3}{22} , left { {{x=9t-1} atop {y=15t+2} }atop {z=22t-3} }right.$
8) Проекцию точки D на пл.АВС найди как пересечение прямой DO и пл.АВС, используя параметрическое уравнение DO.
9(9t-1)+15(15t+2)+22(22t-3)-61=0
81t+225t+484t-106=0
790t=106, t=106/790=53/395
Точка пересечения имеет координаты: х=9*(53/395) -1=...,у=15*(53/395)+2=...
z=22*(53/395)-3=...

Answer 2

В определителях вылезло какое-то "amp;" ,- его не читаем.Ну, и ,конечно, определители обозначаются в вертикальных чертах, а не в квадратных скобках