Question

Даны четыре точки А1(х1, у1, z1), А2(х2, у2, z2), А3(х3, у3, z3), А4(х4, у4, z4).
Составить уравнения: а) плоскости А1А2А3; б) прямой А1А2; в) прямой А4М, перпендикулярной плоскости А1А2А3; г) прямой A3N, параллельной прямой А1А2;
д) плоскости, проходящей через точку А4 перпендикулярно к прямой А1А2.
Вычислить: е) синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3; ж) косинус угла между координатной плоскостью Oxy и плоскостью А1А2А3. Номер 11.8

Answer 1

Даны четыре точки A1( 5; 3; 7), A2 (-2; 3; 7), A3(4; 2; 10), A4(1; 2; 7).

Составить уравнения:

а) плоскости А1А2А3;

Находим векторы А1А2 и А1А3.

А1А2 = (-2-5; 3-3; 7-7) = (-7; 0; 0).

А1А3 = (4-5; 2-3; 10-7) = (-1; -1; 3).

Нормальный вектор плоскости А1А2А3 находим из векторного произведения векторов А1А2 и А1А3.

 i         j        k|        i         j

-7        0       0|       -7       0

-1       -1       3|       -1      -1 = 0i + 0j + 7k + 21j + 0i + 0k =

                                           = 0i + 21j + 7k.

Нормальный вектор плоскости А1А2А3 равен (0; 21; 7).

Подставляем найденные координаты нормального вектора в уравнение плоскости:

(x−5)⋅0+(y−3)⋅21+(z−7)⋅7=0.  

21y+7z−112=0 или после сокращения на 7:

Уравнение А1А2А3: 3y + z - 16.

Из этого уравнения можно принять нормальный вектор плоскости А1А2А3 равным (0; 3; 1).

б) прямой А1А2;

Направляющий вектор найден выше: А1А2 = (-7; 0; 0).

Уравнение А1А2: (x - 5)/(-7) = (y - 3)/0 = (z - 7)/0.

Это уравнение  прямой, параллельной оси абсцисс.

в) прямой А4М перпендикулярной к плоскости А1А2А3;

Направляющим вектором прямой А4М является нормальный вектор плоскости А1А2А3, найденный ранее и равный (0; 3; 1).

Уравнение А4М: (x - 1)/0 = (y - 2)/3 = (z - 7)/1.

г) прямой А3 N параллельной прямой А1А2.

У этой прямой направляющий вектор равен вектору А1А2,

равный (-7; 0; 0).

Уравнение А3N: (x - 4)/(-7) = (y - 2)/0 = (z - 10)/0.

Это уравнение  прямой, параллельной оси абсцисс.

д) плоскости проходящей через точку А4 перпендикулярно к прямой А1 А2.

У этой плоскости нормальный вектор совпадает с вектором А1А2.

(x−1)⋅(-7)+(y−2)⋅0+(z−7)⋅0=0.

-7x + 7 = 0.

после сокращения на -7 получаем

x – 1 = 0.

Вычислить:

e) синус угла между прямой A1A4 и плоскостью A1A2A3.

sin α =|(−7)⋅3+0⋅(−12)+0⋅(−3)|/√((−7)2+02+02)*√(32+(−12)2+(−3)2) =

=    21          = 0,23009

  91,2688  

Угол равен 0,23217 радиан или 13,3023 градуса.

ж) косинус угла между координатной плоскостью Oxy и плоскостью A1A2A3.

Координатная плоскость Oxy имеет уравнение z = 0.

Уравнение плоскости А1А2А3: 3y + z - 16.

Вычислим угол между плоскостями

z = 0 и  3y + z – 16.

cos α = |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|/(√(A1² + B1² + C1²)* √(A2² + B2² + C2²)).

cos α = |0·0 + 0·3 + 1·1|/(√(0² + 0² + 1²)* √(0² + 3² + 1²)) =

= |0 + 0 + 1|/(√(0 + 0 + 1)* √(0 + 9 + 1)) =

= 1/√1* √10 = 1/√10 = √10/10 ≈ 0,3162.

α = 71,565°.