Question

Дано систему линейных дифференциальных уравнений:

dx/dt = 2x - 3y + 4z
dy/dt = 5x + 6y - 7z
dz/dt = 8x - 9y + 10z

Начальные условия:

x(0) = 1, y(0) = 2, z(0) = 3

Найдите решение этой системы уравнений в явном виде.

Answer 1

Відповідь:

det(A - λE) = 0

A =  [2, -3, 4],

       [5, 6, -7],

       [8, -9, 10]

det(A) = 2610 + 378 + 459 - 864 - 972 - 1053 = 240

(2-λ)(6-λ)(10-λ) + 21(λ-2)(λ-4) - 30(λ-2)(λ-3) - 56(λ-3)(λ-4) = 0

λ1 = 11

λ2 = 3

λ3 = 4

(A - λE)v = 0

Для λ1 = 11:

(2-11)x - 3y + 4z = 0

5x + (6-11)y - 7z = 0

8x - 9y + (10-11)z = 0

(3/2)y - 2z/3 + (6/5)y - (7/5)z = 0

4y - (11/2)z + (16/3)y - 6z = 0

y = 2z/5

x = 3y/2 - 2z/3 = 6z/5

v1 = [6z/5, 2z/5, z]

Для λ2 = 3:

v2 = [-2, 1, 0]

Для λ3 = 4:

v3 = [1, 0, 1]