Question

Дано 25 чисел, причём известно, что сумма любых четырёх из них положительна.Объясните, почему положительной будет сумма всех 25 чисел.

Answer 1

Порассуждаем не торопясь. Пусть всего чисел не 25, а 5: $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$. Выпишем все четверки:

$a_1, a_2, a_3, a_4;$

$a_1, a_2, a_3, a_5;$

$a_1, a_2, a_4, a_5;$

$a_1, a_3, a_4, a_5;$

$a_2, a_3, a_4, a_5.$

По условию все они положительны. Сложим все эти четверки. Снова получится положительное число. Поскольку каждое из чисел входит ровно в четыре четверки (для дальнейшего важно, что каждое число  входит в одинаковое количество четверок), то общая сумма будет иметь вид

$4(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)>0.$

Отсюда и следует утверждение.

Для 25 чисел рассуждение ничем не отличается, только четверок намного больше (те, кто знаком с комбинаторикой, может подтвердить, что всего четверок будет $C_{25}^4=frac{25!}{4|(25-4)|}=frac{25!}{4!21!}=frac{25cdot 24cdot 23cdot 22}{4cdot 3cdot 2cdot 1}=25cdot 23cdot 22=12650$, хотя это абсолютно неважно для решения задачи). Важно только, что каждое из чисел будет входить в одинаковое количество четверок. Неважно, чему равно это количество, но доказывая тезис о том, что все математики страшные зануды, найдем его. Подбирая для конкретного числа "трех соседей", мы тем самым из 24 чисел выбираем три числа, а сделать это можно

$C_{24}^3=frac{24!}{3!21!}=frac{24cdot 23cdot 22}{3cdot 2cdot 1}=4cdot 23cdot 22=2024$ способами. Сложив все четверки, а они по условию положительные) мы получим положительное число

$2024(a_1+a_2+ldots +a_{25})>0Rightarrow a_1+a_2+ldots + a_{25}>0.$

Доказательство завершено.

Answer 2

Я вот не понимаю действие после того, как ты доказал что сумма а1,а2,а3,а4,а5 будет положительной.можешь Пожалуйста объяснить?

Answer 3

Как я понял, для пяти чисел все ясно. Попробуй теперь разобраться для случая, когда чисел шесть. Выпиши все возможные четверки; их будет не так много - 15 четверок. Посмотри, в скольких из них находится каждое число. Окажется, что каждое число находится ровно в 10 четверках. Сложи все эти четверки. Получится 10(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6). Раз все четверки давали положительное число, то и их сумма будет положительным числом, а тогда и требуемая сумма положительна.

Answer 4

НУ в в принципе насчёт пяти чисел чсно

Answer 5

ясно*

Answer 6

ок попробую