Question

Дана матрица
A= 6 6 6
−6 −4 −1
6 4 1.
Выясните, какое из чисел λ=0 или λ=−8 является собственным числом матрицы А.
Найдите собственный вектор, отвечающий этому собственному числу.
Собственный вектор запишите в виде −3;p;q
В ответ введите числа p и q, разделив их точкой с запятой.

Answer 1

Ответ:

Собственные числа находят из характеристического уравнения:

|A-λE|=0

$begin{vmatrix} begin{pmatrix}6&6&6\-6&-4 &-1\ 6&4&1end{pmatrix} -lambda begin{pmatrix} 1&0&0\0&1 &0 \0&0 &1 end{pmatrix}end{vmatrix}=0 \ \ \ begin{vmatrix}6-lambda &6 &6 \ -6&-4-lambda & -1\ 6& 4 &1-lambdaend{vmatrix}=0$

Проверяем будет ли -8 являться собственным числом данной матрицы:

$1) lambda=-8 \ \ begin{vmatrix}6+8 &6 &6 \ -6&-4+8 & -1\ 6&4 &1+8end{vmatrix}=begin{vmatrix}14 &6 &6 \-6&4&-1\6& 4 &9end{vmatrix}=14*4*9-6*4*6-6*1*6- \ \ -(6*4*6-6*6*9-14*4*1)=324+236=560neq 0$

Определитель не равен нулю, следовательно -8 не является собственным числом матрицы А

Проверяем число 0

$2)lambda=0\ \ begin{vmatrix}6-lambda &6 &6 \-6&-4-lambda & -1\6&4&1-lambda end{vmatrix}=begin{vmatrix}6&6&6\-6&-4&-1\6&4&1 end{vmatrix}=0$

(вторая строка определителя пропорционально третьей строке, поэтому этот определитель равен нулю)

значит λ=0 - собственное число матрицы А

теперь находим собственный вектор из матричного уравнения:

$begin{pmatrix}6-lambda &6 &6 \ -6&-4-lambda& -1\ 6& 4 &1-lambdaend{pmatrix}*begin{pmatrix} x\ y\z end{pmatrix}=begin{pmatrix} 0\0 \0 end{pmatrix} \ \ \ begin{pmatrix}6 &6 &6 \ -6&-4 & -1\ 6& 4 &1end{pmatrix}*begin{pmatrix} x\ y\z end{pmatrix}=begin{pmatrix} 0\0 \0 end{pmatrix}$

$left{begin{matrix} 6x+6y+6z=0 |:6\ -6x-4y-z=0\6x+4x+z=0 |*(-1)end{matrix}right. <=> left{begin{matrix}x+y+z=0 \ -6x-4y-z=0\-6x-4x-z=0end{matrix}right. <=> \ \ \ <=> left{begin{matrix}x+y+z=0 \ -6x-4y-z=0end{matrix}right. <=> left{begin{matrix}y+z=-x \ 6(y+z)-4y-z=0end{matrix}right. <=> \ \ <=>left{begin{matrix}y+z=-x \ 6y+6z-4y-z=0end{matrix}right. <=> left{begin{matrix}y+z=-x \2y=-5zend{matrix}right. <=>$

$left{begin{matrix}y+z=-x \2y=-5zend{matrix}right. <=> left{begin{matrix}-2.5z+z=-x \y=-2,5zend{matrix}right. <=> left{begin{matrix}x=1.5z \y=-2.5zend{matrix}right.$

Собственный вектор будет иметь координаты:

$vec{u}=(1.5z;-2.5z;z)$

Пусть z=-2, тогда

$vec{u}=(-3;5;-2)$

Ответ: 5;-2

Answer 2

Везде где появляется символ А с крышечкой, его на самом деле нет, это какой то баг с программой. Сейчас попробую это убрать

Answer 3

Спасибо. Огромное за отличное объяснение.

Answer 4

пожалуйста

Answer 5

а какую прог использовали?

Answer 6

LaTeX редактор, он встроен на сайте