Question

дана функция z=x^2+3y^2-8x-2y-1 найти ее точки экстремума

Answer 1

$\ z=x^2+3y^2-8x-2y-1\ z'_x=2x-8\ z'_y=6y-2$ 

 

$\2x-8=0\ 2x=8\ x=4\\ 6y-2=0\ 6y=2\ y=frac{1}{3}\\ (4,frac{1}{3})$

 

$\z''_{xx}=2\ z''_{yy}=6\ z''_{xy}=0\ Delta=2cdot6-0^2=\ Delta=12$

 

$\z(4,frac{1}{3})=4^2+3cdot(frac{1}{3})^2-8cdot4-2cdot(frac{1}{3})-1\ z(4,frac{1}{3})=16+frac{1}{3}-32-frac{2}{3}-1\ z(4,frac{1}{3})=-17-frac{1}{3}\ z(4,frac{1}{3})=-frac{51}{3}-frac{1}{3}\ z(4,frac{1}{3})=-frac{52}{3}\\ z''_{xx}>0wedge Delta>0 Rightarrow z(4,frac{1}{3})=z_{min}$