Question

Дан треугольник с вершинами А2,-1, В-7, 3, С-1,-5. составить уравнение биссектрисы угла С

Answer 1

Есть два способа решить данную задачу , первый способ очень сложный в плане решение системы . 
Второй способ более легкий.
Найдем длины сторон к каждой стороны $AC;BC;AB$ , по формуле 
$L=sqrt{(x-x_{0})^2+(y-y_{0})^2}$    , в итоге получим 
$AC=sqrt{3^2+4^2}=5\ BC=sqrt{6^2+8^2}=10\ AB=sqrt{9^2+4^2}=sqrt{97}$
Теперь по формуле биссектриса  проведенная к стороне АВ  равна 
  $L=frac{sqrt{10*5(10+5+sqrt{97})(10+5-sqrt{97})}}{10+5}=frac{sqrt{50(15+sqrt{97})(15-sqrt{97})}}{15}$                                             теперь найдем угол $ACB$ ,   по теореме косинусов 
$97=10^2+5^2-2*5*10*cosACB\ cosACB=cosz\ cosz=frac{7}{25}\ z=arccos(frac{7}{25})$
Найдем теперь длину отрезка     $AH$ 
 $AH^2=(frac{sqrt{50(15+sqrt{97})(15-sqrt{97})}}{15})^2+25-2*5*(frac{sqrt{50(15+sqrt{97})(15-sqrt{97})}}{15})*cos(frac{arccosfrac{7}{25}}{2})\ cos(frac{arccosfrac{7}{25}}{2})=frac{4}{5}\ \ AH=sqrt{frac{97}{9}}$    



Пусть координата точки $A_{1}(x;y)$ где $A_{1}$  это биссектриса $CA_{1}$ , тогда удовлетворяет система 
$sqrt{(x-2)^2+(y+1)^2}=frac{sqrt{97}}{3}\ sqrt{(-7-x)^2+(3-y)^2}=frac{2sqrt{97}}{3}\ \ ((x-2)^2+(y+1)^2)=frac{97}{9}\ (-7-x)^2+(3-y)^2=frac{4*97}{9}\ \ 9y^2+18y+9x^2-36x-52=0 \ 9y^2-54y+9x^2+126x+134=0\ 18y+54y-36x-126x-52-134=0\ 72y-162x-186=0\ x=-1\ y=frac{1}{3}$
то есть мы нашли координаты  $A_{1}$ , найдем теперь уравнение прямой 
$C(-1;-5)\ A_{1}(-1;frac{1}{3})\ \ frac{x+1}{-1+1} =frac{y+5}{frac{1}{3}+5}\ frac{16}{3}(x+1)=0\ x=-1$
то есть это прямая параллельная оси ОУ