D Два кола мають спільний центр О . Через точку А більшого кола провели дотичні АС і АЕ до меншого кола. Знайдіть радіус більшего кола (R), якщо радіус меншого (r) дорівнює 5 см, а кут САЕ = 60 градусів.
Ответы на вопрос
Позначимо точку дотику дотичної АС з меншим колом як В.
Так як дотична до кола є перпендикуляром до радіуса в точці дотику, тому ми можемо побудувати прямокутний трикутник АВС з гіпотенузою АС і катетами АВ та ВС.
Оскільки ВО є радіусом меншого кола, то ВО = r = 5 см.
Розглянемо трикутник АОВ, який є прямокутним, так як О є центром кола, а ВО є радіусом.
За теоремою Піфагора, ОА² = ВО² + АВ², тому
ОА² = 5² + АВ².
Розглянемо трикутник АСЕ. За теоремою косинусів маємо:
АС² = АЕ² + СЕ² - 2·АЕ·СЕ·cos(CAE),
де СЕ = ОВ, АЕ = ОВ + ВЕ = ОВ + ОС, оскільки ОС є радіусом більшого кола, тому АЕ = R + 5.
Крім того, оскільки кут САЕ = 60°, то cos(CAE) = cos(60°) = 1/2.
Підставляючи вирази для СЕ, АЕ і cos(CAE), маємо:
АС² = (R + 5)² + 5² - 2·(R + 5)·5·1/2 = R² + 10R + 50.
З іншого боку, за теоремою Піфагора для трикутника АВС маємо:
АС² = АВ² + ВС² = (ОВ + ОС)² + ОВ² = R² + 10R + 25.
Таким чином, ми маємо рівняння
R² + 10R + 25 = R² + 10R + 50,
звідки випливає, що
25 = 50,
що є суперечністю.
Отже, задача має неправильне умовування, оскільки неможливо знайти радіус більшого кола при заданих умовах.