Question

Cравните числа:
$1) \ \log_{3}4 \ \ \ and \ \ \ \sqrt[4]{2} \\ \\ 2) \ log_2{3} \ \ \ and \ \ \ \sqrt[3]{7}$

Answer 1

1.
Обозначим:
$\log_34=a; \ \sqrt[4]{2} =b$
Преобразуем числа:
$a=\log_34=\log_3(4^4)^{ \frac{1}{4} }= \dfrac{1}{4}\log_34^4=\dfrac{1}{4}\log_3256\ \textgreater \ \dfrac{1}{4}\log_3243 = \\\ \ =\dfrac{1}{4}\log_33^5=\dfrac{1}{4}\cdot5= \dfrac{5}{4} \\\ \Rightarrow a\ \textgreater \ \dfrac{5}{4}$
$b= \sqrt[4]{2} \ \textless \ \sqrt[4]{2 \dfrac{113}{256} } =\sqrt[4]{ \dfrac{625}{256} } = \dfrac{5}{4} \\\ \Rightarrow b\ \textless \ \dfrac{5}{4}$
Вывод: первое число больше 5/4, а второе меньше 5/4. Значит, $\log_34\ \textgreater \ \sqrt[4]{2}$

2.
Обозначим:
$\log_23=c; \ \sqrt[3]{7} =d$
Преобразуем числа:
$c=\log_23= \log_2(3^5)^ \frac{1}{5} =\dfrac{1}{5} \log_23^5 =\dfrac{1}{5} \log_2243 \ \textless \ \dfrac{1}{5} \log_2256 =\\\ =\dfrac{1}{5} \log_22^8=\dfrac{1}{5}\cdot8=\dfrac{8}{5} \\\ \Rightarrow c\ \textless \ \dfrac{8}{5}$
$d= \sqrt[3]{7} \ \textgreater \ \sqrt[3]{ 4\dfrac{12}{125} } =\sqrt[3]{ \dfrac{512}{125} } = \dfrac{8}{5} \\\ \Rightarrow d\ \textgreater \ \dfrac{8}{5}$
Вывод: первое число меньше 8/5, а второе больше 8/5. Значит, $\log_23\ \textless \ \sqrt[3]{7}$