Question

Чому дорівнює значення виразу cos^2(1градусів)+cos^2(3градусів)+cos^2(5градусів)+...+cos^2(89градусів)?
Варіанти відповіді : 0
22,5
23
45
46

Answer 1

Ответ:

Сумма ряда:

$\boldsymbol{\boxed{\cos^{2} 1^{\circ} + \cos^{2} 2^{\circ} + \ldots +\cos^{2} 89^{\circ} = 44,5}}$

Примечание:

Формула приведения:

$\boxed{\sin \alpha = \cos(90^{\circ} - \alpha )} \Longrightarrow \sin^{2} \alpha = \cos^{2}(90^{\circ} - \alpha )$

Основное тригонометрическое тождество:

$\boxed{\sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha =1}$

Пошаговое объяснение:

Таким образом в сумме $\cos^{2} 1^{\circ} + \cos^{2} 2^{\circ} + \ldots +\cos^{2} 89^{\circ}$ можно к примеру выбрать слагаемое $\cos^{2} 1^{\circ}$ и $\cos^{2} 89^{\circ}$, тогда:

$\sin^{2} 1^{\circ} = \cos^{2}(90^{\circ} -1^{\circ} ) = \cos^{2} 89^{\circ}$, таким образом:

$\cos^{2} 1^{\circ} + \cos^{2} 89^{\circ} =\cos^{2} 1^{\circ} + \sin^{2} 1^{\circ} =1$.

Тогда выбирая пары 2° и 88°, 3° и 87° и так далее аналогичным образом получим, что сумма квадратов косинусов от данной пары углов равна 1.

Всего в сумме 89 косинусов, тогда возможно составить 44 пары, так как [89 : 2] = 44, а числу 45° пары не хватит, таким образом:

$\cos^{2} 1^{\circ} + \cos^{2} 2^{\circ} + \ldots +\cos^{2} 89^{\circ} = 44 \cdot 1 + \cos^{2} 45^{\circ} = 44 + \bigg(\dfrac{\sqrt{2} }{2} \bigg)^{2} =$

$= 44 + \dfrac{2}{4} = 44 + 0,5 = 44,5$.

#SPJ1