Question

Числа 1, 2, 3, . . . , 100 разбили на 50 пар, и числа в каждой
паре сложили. Какое наибольшее количество из этих пяти-
десяти сумм может делиться на 20?

Answer 1

Сумма всех чисел от 1 до 100 равна
S  =(1+100)/2*100 = 5050, на 20 нацело не делится, т.е. по крайней мене одна пара из 50 должна быть принесена в жертву.
----------------
А теперь покажем разбиение на 49 пар, делящихся на 20:
суммируем 
1+99=100
2+98=100
...
49+51=100
таких пар 49 штук, суммы делятся на 20
И оставшиеся два числа, 50+100 на 20 не делятся.