Question

Чисельник звичайного нескоротного дробу на 2 менший від займенника. Якщо від чисельника відняти 2, а до займенника додати 5, то дріб зменшиться на 1 /2. Знайдіть цей дріб.

Answer 1

Числитель обычной несократимой дроби на 2 меньше от знаменателя. Если от числителя вычесть 2, а к знаменателю прибавить 5, то дробь уменьшится на 1 /2. Найдите дробь.

Решение

Пусть х - знаменатель, тогда

(х-2)- числитель

$frac{x-2}{x}$ - искомая дробь

ОДЗ: х≠0; x≠2

(х+5) - знаменатель новой дроби, тогда

(х-2-2) = (х-4)- числитель новой дроби

$frac{x-4}{x+5}$ - новая дробь

По условию новая дробь меньше первоначальной на 1/2, получаем уравнение:

$frac{x-2}{x}-frac{x-4}{x+5}=frac{1}{2}$

$frac{x-2}{x}-frac{x-4}{x+5}-frac{1}{2}=0$

$frac{2*(x-2)*(x+5)-2x*(x-4)-1*x*(x+5)}{2x(x+5)}=0$

$frac{2x^2+6x-20-2x^2+8x-x^2-5x}{2x(x+5)}=0$

$frac{-x^2+9x-20}{2x(x+5)}=0$

ОДЗ: х≠0; x≠-5

$-x^2+9x-20=0$

$x^2-9x+20=0$

$D=81-4*1*20=81-80=1=1^2$

$x_1=frac{9-1}{2}=frac{8}{2}=4$

$x_2=frac{9+1}{2}=frac{10}{2}=5$

1) При х₁ = 4 получается дробь 2/4, у которой если от числителя вычесть 2, то данная дробь превратится в 0, значит, х₁=4 не удовлетворяет условию.

2) При х₂ = 5 получается дробь 3/5, которая полностью удовлетворяет условию.

Проверка:

$frac{3}{5}-frac{3-2}{5+5}=frac{1}{2}$

$frac{3}{5}-frac{1}{10}=frac{1}{2}$

$frac{3*2-1}{10}=frac{1}{2}$

$frac{5}{10}=frac{1}{2}$

$frac{1}{2}=frac{1}{2}$  верное равенство.

Ответ:  $frac{3}{5}$