Question

Четыре числа образуют геометрическую прогрессию. Если к ним прибавить соответственно 3, 12, 13 и 22, то получим четыре числа, образующие арифметическую прогрессию. Определи числа, образующие геометрическую прогрессию.

Ответ:
знаменатель геометрической прогрессии: q=
.

Члены геометрической прогрессии:

b1=
b2=
b3=
b4=

Answer 1

Пуcть $b_1, b_2, b_3, b_4$ - члены геометрической прогрессии, $a_1, a_2, a_3, a_4$ - члены арифметической прогрессии.

Использовав формулу общего члена прогрессии, перепишем члены геометрической прогрессии в следующем виде: $b_1, b_1q, b_1q^2, b_1q^3$.

По свойству арифметической прогрессии, каждый ее член равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов:

$a_2=frac{a_1+a_3}{2}$  ,  $a_3=frac{a_2+a_4}{2}$.

По условию $a_1=b_1+3,$   $a_2=b_1q+12$,    $a_3=b_1q^2+13$,    $a_4=b_1q^3+22$.

Итого:

$2(b_1q+12)=b_1+3+b_1q^2+13;\\2(b_1q^2+13)=b_1q+12+b_1q^3+22$

Решаем систему:

$left { {{2b_1q+24=b_1+b_1q^2+16} atop {2b_1q^2+26=b_1q+b_1q^3+34}} right. \\left { {{2b_1q+8=b_1+b_1q^2} atop {2b_1q^2-8=q(b_1q+b_1q^2)}} right.\\left { {{2b_1q+8=b_1+b_1q^2} atop {2b_1q^2-8=q(2b_1+8)}} right. \\left { {{2b_1q+8=b_1+b_1q^2} atop {2b_1q^2-8=2b_1q+8q}} right. \\8q=-8Rightarrow q=-1\\2b_1cdot(-1)+8=b_1+b_1cdot(-1)^2\\-2b_1+8=b_1+b_1\\4b_1=8Rightarrow b_1=2$

Теперь мы можем вычислить члены геометрической прогрессии:

$b_1=2;\\b_2=b_1q=2cdot(-1)=-2\\b_3=b_2q=-2cdot(-1)=2\\b_3=b_3q=2cdot(-1)=-2$

ОТВЕТ: 2; -2; 2; -2.