Через точку К пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, параллельная основаниям трапеции, которая делит трапецию на два че- тырёхугольника. Найдите отношение площади четырёхугольника, прилегающего к меньшему основанию трапеции, к площади четырёхугольника, прилегающего к большему основанию, если точка К делит одну из диагоналей в отношении 3 : 5, считая от меньшего основания.
Ответы на вопрос
Ответ:
81/175
Объяснение:
а)Пусть в трапеции АВСD
АК:КС=2:3 => на отрезок АС приходится 8 частей.
ΔBCК ~ ΔDAK по двум углам ∠BCK=∠DAK как соответственные при BC||AD , ∠BKC=∠DKA как вертикальные =>
1)BC/AD=3/5 ,AD=5/3*BC,
2)BK/DK=3/5 .
3)h( к отр.BC)/h(к отр.AD)=3/5 , h(к отр.AD)=5/3* h( к отр.BC).
б)Выразим длину отрезка РМ.
1) ΔАРК ~ ΔАВС по двум углам ∠AКР=∠АСВ как соответственные при РК||ВС, АС-секущая ; ∠ВАС-общий
=> РК:ВС=АК:АС= , РК=(ВС*АК)/АС, РК=5/8*ВС.
2) Δ DMK ~ ΔDCB по двум углам ∠DKM=∠DBC как соответственные при MК||ВС, BD-секущая ; ∠BDC-общий
=> MК:ВС=DК:BD= , MК=(ВС*DК)/BD, MК=5/8*ВС.
3)PM=PK+KM=5/8*ВС+5/8*ВС=5/4*ВС.
в)S(BCK)=1/2* h( к отр.BC)*(BC+PM)=
=1/2* h( к отр.BC)*(BC+5/4*ВС)=
=1/2* h( к отр.BC)*(9/4*ВС);
S(DKA)=1/2* h( к отр.AD)*(AD+PM)=
=1/2* h( к отр.AD)*(5/3*BC+5/4*ВС)=
=1/2* 5/3* h( к отр.BC)(35/12*ВС);
S(BCK)/ S(DKA)=
=( 1/2* h( к отр.BC)*(9/4*ВС))/
1/2* 5/3* h( к отр.BC)*(35/12*ВС))=
=3/5*9/4*12/35=81/175