Question

Через точку (5;25) графика функции y=x2 проходят две перпендикулярные прямые: ℓ1 и ℓ2. Прямая ℓ1 пересекает ось Ox в точке (a;0) и вторично пересекает график функции в точке (b;b2). Прямая ℓ2 пересекает ось Ox в точке (c;0) и вторично пересекает график функции в точке (d;d2). Чему равняется acbd?

Answer 1

Пусть уравнения прямых имеют вид:

l₁:y=k₁x+m₁  

l₂:y=k₂x+m₂

Прямые проходят через точку (5;25)

Подставим координаты точки в уравнения:

25=5k₁+m₁  ⇒m₁ =25-5k₁

25=5k₂+m₂ ⇒m₂=25-5k₂

Произведение угловых коэффициентов  взаимно перпендикулярных прямых равно (-1):

k₁k₂=-1

$k_{2}=-frac{1}{k_{1} }$

Пусть k₁=k, тогда $k_{2}=-frac{1}{k }$

По условию: прямая l₁ пересекает ось Ox в точке (a;0)

Подставляем координаты точки в уравнение l₁:y=kx+ 25-5k

0=ka+25-5k

и пересекает график функции  y=x² в точке (b;b²).

Подставляем координаты точки в уравнение l₁:y=kx+ 25-5k

b²=kb+25-5k

Прямая  l₂ пересекает ось Ox в точке (c;0)

Подставляем координаты точки в уравнение l₂:$y=-frac{x}{k}+25+frac{5}{k}$

$0=-frac{c}{k}} +25+frac{5}{k}$

и пересекает график функции  y=x² в точке (d;d²)

$d^2=-frac{d}{k_{1}}+25+frac{5}{k}$

Получаем систему:

{0=ka+25-5k

{b²=kb+25-5k

{$0=-frac{c}{k} +25+frac{5}{k}$

{${d^2=-frac{d}{k}+25+frac{5}{k}$

Перепишем:

{ka=5k-25

{kb=b²-25+5k

{$frac{c}{k}} =25+frac{5}{k}$

{${frac{d}{k}}=25+frac{5}{k}-d^2$

перемножаем:

abcd=