Биссектрисы углов C и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне AB. Докажите, что M — середина AB. Даю 25 баллов
Ответы на вопрос
Ответ:
Объяснение:
Дано: ABCD - параллелограмм;
СМ и DM -биссектрисы углов С и D соответственно.
Точка М∈АВ
Доказать: АМ=МВ
Доказательство:
1. ∠1=∠2 (условие)
∠5=∠2 (накрест лежащие при АВ║СD и секущей МС)
⇒∠1=∠5
2. Рассмотрим ΔМВС.
∠1=∠5 (п.1)⇒ ΔМВС - равнобедренный (углы при основании равны)
⇒ МВ=ВС
3. ∠3=∠4 (условие)
∠3=∠6 (накрест лежащие при АВ║СD и секущей МD)
⇒∠4=∠6
4.. Рассмотрим ΔАМD.
∠4=∠6 (п.3)⇒ ΔАМD - равнобедренный (углы при основании равны)
⇒ АМ=АD
5. МВ=ВС (п.2)
АМ=АD (п.4)
ВС=АD (свойство параллелограмма)
⇒АМ=МВ
Объяснение:
Дано: ABCD - параллелограмм, CM и DM - биссектрисы, M ∈ AB
Доказать: AM = MB
Решение: Так как по условию CM и DM - биссектрисы, то угол
∠ADM = ∠CDM, ∠BCM = ∠DCM. Через точку M проведем прямую, которая пересекает прямую CD в точке K и параллельна AD. Так как по определению параллелограмма AD║BC и по построению MK║AD, то MK║BC. Угол ∠ADM = ∠DMK как внутренние разносторонние углы при параллельных прямы (MK║AD) и секущей по теореме, следовательно так как угол ∠ADM = ∠DMK, то треугольник ΔMKD - равнобедренный по теореме и MK = KD. Угол ∠BCM = ∠CMK как внутренние разносторонние углы при параллельных прямы (MK║BC) и секущей по теореме, следовательно так как угол ∠BCM = ∠CMK, то треугольник ΔMKC - равнобедренный по теореме и MK = KC.
Так как MK = KC и MK = KD, то MK = KC = KD, тогда KC = KD и точка K - середина стороны DC. Так как MK параллельна сторонам параллелограмма и KC = KD, то MK - средняя линия параллелограмма, тогда AM = MB.
