Question

Без использования калькулятора сравнить числа $log_7 16$ и $log_4 7$

Answer 1

Логарифмические функции с основанием 7 и 4 возрастающие, значит бо`льшему значению функции соответствует бо`льшее значение аргумента:

$1=log_{7}7 < log_{7}16<log_{7}49=2\ \1=log_{4}4 < log_{4}7<log_{4}16=2$

Числа$log_{7}16$  и $log_{4}7$ находятся на промежутке [1;2]

Сравним каждое c серединой этого отрезка, с числом 1,5

$1,5=log_{7}7^{1,5}=log_{7}sqrt{7^3}=log_{7}sqrt{343} >log_{7}sqrt{256}=log_{7} 16\ \1,5=log_{4}4^{1,5}=log_{4}sqrt{4^3}=log_{4}sqrt{64} >log_{4}sqrt{49}=log_{4}7$

Значит оба числа находятся на промежутке [1;1,5]

Умножим равенства

$1<log_{7}16<frac{3}{2}\ \1<log_{4}7<frac{3}{2}$

на 2.

$2<2cdot log_{7}16=log_{7}16^2<3\ \2<2cdot log_{4}7=log_{4}7^2<3$

Числа$log_{7}16^2$  и $log_{4}7^2$ находятся на промежутке [2;3]

Сравним каждое c серединой этого отрезка, с числом 2,5

$log_{7}16^2>frac{5}{2}=frac{5}{2}log_{7}7^{frac{5}{2}}=log_{7}sqrt{7^5}\ \log_{7}256=log_{7}sqrt{256^2}=log_{7}sqrt{65536}>log_{7}sqrt{7^5} =log_{7}sqrt{16807}$

$log_{4}7^2>frac{5}{2}=frac{5}{2}log_{4}4^{frac{5}{2}}=log_{4}sqrt{4^5}\ \log_{4}49=log_{7}sqrt{49^2}=log_{7}sqrt{2401}>log_{4}sqrt{4^5} =log_{4}sqrt{1024}$

Числа$log_{7}16^2$  и $log_{4}7^2$ находятся на промежутке [2,5;3]

Умножим равенства

$2,5<log_{7}16^2<3\ \2,5<log_{4}7^2<3$

на 2.

$5<2cdot log_{7}16^2=log_{7}16^4<6\ \5<2cdot log_{4}7^2=log_{4}7^4<6$

Числа$log_{7}16^4$  и $log_{4}7^4$ находятся на промежутке [5;6]

Сравним каждое c серединой этого отрезка, с числом 5,5

$log_{4}49^2=log_{4}sqrt{49^4}=log_{4}sqrt{3364801}<log_{4}4^{frac{11}{2}}= log_{4}sqrt{4194304}=frac{11}{2} < log_{7}7^{frac{11}{2}}=log_{7}sqrt{7^{11}}<log_{7}16^4$

Получили:

$log_{4}7^4<frac{11}{2}<log_{7}16^4\ \4log_{4}7<frac{11}{2}<4log_{7}16\ \ log_{4}7<frac{11}{8}<log_{7}16\ \ log_{4}7<log_{7}16$