Question

бічне ребро правильної трикутної піраміди довжиною 10см, нахилене до площини основи під кутом 60 градусів. знайдіть площу повної поверхні піраміди.
Потрібен малюнок , дано,знайти і розв'язок

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{75(\sqrt{3}+ \sqrt{39} )}{4}$ см².

Объяснение:

Боковое ребро правильной треугольной пирамиды длиной 10 см наклонено к плоскости основания под углом в 60 градусов. Найти полную поверхность пирамиды.

Дано: DАВС - правильная пирамида

            АD = ВD =СD = 10 см

           DО - высота

           ∠DВО =60°

Найти:  Sполн.

Решение:

Полная поверхность пирамиды равна сумме боковой поверхности и площади основания.

Sполн.= Sбок. + Sосн.

Рассмотрим ΔDОВ - прямоугольный, так как DО - высота.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

$cos 60^{0} =\dfrac{OB}{DB} ;\\\\OB = DB\cdot \cos60^{0} ;\\\\OB = 10\cdot \dfrac{1}{2} = 5$  см.

Если все боковые ребра равны, то точка О - центр описанной около треугольника АВС  окружности  и ОВ  - радиус этой окружности

$R =\dfrac{a}{\sqrt{3} } ,$   где а - сторона треугольника.

Тогда

$a = R\sqrt{3} ;\\a=5\sqrt{3}$cм.

Площадь равностороннего треугольника определяется по формуле:

$S =\dfrac{a^{2} \sqrt{3} }{4} ,$  где а -сторона правильного треугольника.

$S =\dfrac{(5\sqrt{3} )^{2} \cdot \sqrt{3} }{4} =\dfrac{25\cdot 3 \cdot \sqrt{3} }{4} =\dfrac{75\sqrt{3} }{4}$  см².

Найдем боковую поверхность пирамиды как полупроизведение периметра основания на апофему.

Пусть DM - апофема, то есть высота боковой грани ADC.

Точка М - середина стороны АС.

Тогда

$AM =MC = \dfrac{5\sqrt{3} }{2}$  см.

Применим к ΔDMA  - прямоугольному теорему Пифагора : в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

DA² = DM² + AM²;

DM² = DA² - AM²;

$DM =\sqrt{10^{2} -\left(\dfrac{5\sqrt{3} }{2} \right)^{2} } =\sqrt{100-\dfrac{25\cdot3}{4} } =\sqrt{100-\dfrac{75}{4} } =\sqrt{\dfrac{400-75}{4}} =\\\\={\sqrt{\dfrac{325}{4} }=\sqrt{\dfrac{25\cdot 13}{4} } =\dfrac{5\sqrt{13} }{2}$

Периметр основания, то есть ΔАВС .

$P = 3 \cdot 5\sqrt{3} =15\sqrt{3}$ см .

Тогда площадь боковой поверхности будет

$S =\dfrac{1}{2} \cdot 15\sqrt{3} \cdot \dfrac{5\sqrt{13} }{2} =\dfrac{75\sqrt{39} }{4}$ см².

Полная поверхность равна сумме боковой поверхности  и  площади основания

$S =\dfrac{75\sqrt{3} }{4} +\dfrac{75\sqrt{39} }{4} =\dfrac{75(\sqrt{3}+ \sqrt{39} )}{4}$  см ²

#SPJ1