Question

(an) - арифметическая прогрессия, a3 + a5 + a7 = 12, a3 • a5 • a7 = - 80
найдите a1

пожалуйста помогите, буду очень благодарна!!

Answer 1

Ответ:

Первый член арифметической прогрессии равен -8 или 16.

Решение:

По условию:

$\begin{cases} a_3+a_5+a_7=12 \\ a_3\cdot a_5\cdot a_7=-80 \end{cases}$

Рассмотрим первое соотношение:

$a_3+a_5+a_7=12$

Выразим третий и седьмой члены через пятый член и разность прогрессии:

$a_3=a_5-2d;\ a_7=a_5+2d$

Получим:

$a_5-2d+a_5+a_5+2d=12$

$3a_5=12$

$a_5=4$

Рассмотрим второе соотношение:

$a_3\cdot a_5\cdot a_7=-80$

Используем те же выражения для третьего и пятого члена:

$(a_5-2d)\cdot a_5\cdot (a_5+2d)=-80$

Произведение первого и последнего множителя в левой части преобразуем с помощью формулы разности квадратов:

$\big(a_5^2-(2d)^2\big)\cdot a_5=-80$

$\big(a_5^2-4d^2\big)\cdot a_5=-80$

Теперь подставим ранее найденное значение пятого члена:

$\big(4^2-4d^2\big)\cdot 4=-80$

$16-4d^2=-20$

$4d^2=16+20$

$4d^2=36$

$d^2=9$

$d=\pm 3$

Таким образом, возможные две ситуации:

1) Если рассматриваемая прогрессия - прогрессия с положительной разностью, то есть при $d=3$, получим:

$a_1=a_5-4d=4-4\cdot3=4-12=\boxed{-8}$

2) Если рассматриваемая прогрессия - прогрессия с отрицательной разностью, то есть при $d=-3$, получим:

$a_1=a_5-4d=4-4\cdot(-3)=4+12=\boxed{16}$

Элементы теории:

Формула n-ого члена арифметической прогрессии:

$a_n=a_1+d(n-1)$

Выражения последующего члена арифметической прогрессии через предыдущий и предыдущего через последующий:

$\begin{cases} a_{n+1}=a_n+d \\ a_n=a_{n+1}-d \end{cases}$