Question

Алгебра. 10 класс. Профильный уровень.
Помогите решить, пожалуйста.

Answer 1

1.
а)
$cos2x+tg^2x*cos2x-1=cos2x(1+tg^2x)-1= \ \ =cos2x* frac{1}{cos^2x}-1= frac{cos^2x-sin^2x}{cos^2x}-1= \ \ = frac{cos^2x}{cos^2x}- frac{sin^2x}{cos^2x}-1=1-tg^2x-1=-tg^2x \ \ -tg^2x=-tg^2x$
Что и требовалось доказать.

б)
$(sin4x-sin5x)-(sin6x-sin7x)= \ \ =2sin frac{4x-5x}{2}cos frac{4x+5x}{2}-2sin frac{6x-7x}{2}cos frac{6x+7x}{2}= \ \ =2sin(- frac{x}{2} )cos4.5x-2sin(- frac{x}{2} )cos6.5x= \ \ =2sin(- frac{x}{2} )(cos4.5x-cos6.5x)= \ \ =-2sin( frac{x}{2} )(-2sin frac{4.5x+6.5x}{2}sin frac{4.5x-6.5x}{2} )= \ \ =-2sin( frac{x}{2} )(-2sin frac{11x}{2} sin(- frac{2x}{2} ))= \ \ =-4sin frac{x}{2}sinxsin frac{11x}{2}$
Что и требовалось доказать.

2.
$tg( frac{x}{3}+ frac{ pi }{4} )+tg( frac{x}{3}- frac{ pi }{4} )= \ \ = frac{tg frac{x}{3} +tg frac{ pi }{4} }{1-tg frac{x}{3}tg frac{ pi }{4} }+ frac{tg frac{x}{3}-tg frac{ pi }{4} }{1+tg frac{x}{3}tg frac{ pi }{4} }= \ \ = frac{tg frac{x}{3}+1 }{1-tg frac{x}{3} }+ frac{tg frac{x}{3}-1 }{1+tg frac{x}{3} }= \ \ = frac{(tg frac{x}{3}+1 )^2+(tg frac{x}{3} -1)(1-tg frac{x}{3} )}{(1-tg frac{x}{3} )(1+tg frac{x}{3} )}=$
$= frac{(tg frac{x}{3}+1 )^2-(tg frac{x}{3}-1 )^2}{1-tg^2 frac{x}{3} }= frac{(tg frac{x}{3}+1-tg frac{x}{3}+1 )(tg frac{x}{3}+1+tg frac{x}{3}-1 )}{1-tg^2 frac{x}{3} }= \ \ = frac{2*2tg frac{x}{3} }{1-tg^2 frac{x}{3} }=2* frac{2tg frac{x}{3} }{1-tg^2 frac{x}{3} }=2tg(2* frac{x}{3} ) =2tg frac{2x}{3}$

3.
2cos3x cos4x - cos7x=2cos3x cos4x - cos(3x+4x)=
=2cos3x cos4x -(cos3x cos4x - sin3x sin4x)=
=2cos3x cos4x - cos3x cos4x + sin3x sin4x =
= cos3x cos4x + sin3x sin4x= cos(3x-4x)=cos(-x)=cosx=
=cos(2*(x/2))=cos²(x/2)-sin²(x/2)=cos²(x/2)-(1-cos²(x/2))=
=cos²(x/2)-1+cos²(x/2)=2cos²(x/2)-1
2*(√0.8)² -1= 2*0.8 -1= 1.6-1=0.6

4.
Угол  х  находится в 3-ей четверти.
Знак в 3-ей четверти sinx - "-";  cosx - "-";  tgx - "+".

cos(π/2+x)= -sinx
-sinx = 12/13
 sinx=  - 12/13

$cosx= - sqrt{1-sin^2x}=- sqrt{1-(- frac{12}{13} )^2}=- sqrt{1- frac{144}{169} }= \ \ =- sqrt{ frac{25}{169} }=- frac{5}{13} \ \ tgx= frac{sinx}{cosx}= frac{-12}{13}:(- frac{5}{13} )= frac{12}{5}$

$tg2x= frac{2tgx}{1-tg^2x}= frac{2* frac{12}{5} }{1-( frac{12}{5} )^2}= frac{ frac{24}{5} }{1- frac{144}{25} }= frac{24}{5}:(- frac{119}{25} )= \ \ =- frac{24*5}{119}=- frac{120}{119}$