Question

ABCDA1B1C1D1- прямоугольный параллелепипед. Если длины параллелепипеда АВ = 12; BC = 5; cc1 = 10, то найдите площадь сечение через точки A1, B1 и D..

Answer 1

Ответ:

$S = 60\sqrt{5}$ см²

Объяснение:

Дано: $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ - прямоугольный параллелепипед, AB = 12, BC = 5,$CC_{1} = 10$

Найти: S - ?

Решение: Построим сечение проходящие через точки $A_{1},B_{1},D$. Так как точки $A_{1}$ и $D$ - лежат в грани $A_{1}ADD_{1}$, то эти точки можно соединить отрезком. Так как грани прямоугольный параллелепипеда

($ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ ) параллельны, то можно перенести грань $B_{1}BCC_{1}$ по вектору $\overrightarrow{C_{1}D_{1}}$ на грань $A_{1}ADD_{1}$. Так как точки $A_{1},B_{1}$ и $C_{1},D_{1}$ - совпадут, то отрезки $A_{1}D$ и $B_{1}C$ также совпадут, тогда плоскости сечения $A_{1}B_{1}D$ принадлежит точка C ($C \in A_{1}B_{1}D$). Тогда сечением прямоугольного параллелепипеда будет четырехугольник $A_{1}B_{1}CD$.

По свойствам  прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ пары ребер $BC = AD$ ,$CC_{1} = AA_{1}$, $AB = CD$ равны. По теореме о трех перпендикулярах $A_{1}D \perp CD$ так как $AA_{1} \perp AD$,$AD \perp CD$ по свойствам  прямоугольного параллелепипеда. При параллельном переносе грани $B_{1}BCC_{1}$ по вектору $\overrightarrow{C_{1}D_{1}}$ на грань $A_{1}ADD_{1}$, соответствующие точки и отрезки совпали, тогда $A_{1}D = B_{1}C, A_{1}D \parallel B_{1}C$ , следовательно по теореме-признаку четырехугольник $A_{1}B_{1}CD$ - параллелограмм, а так как $A_{1}D \perp CD$, то $A_{1}B_{1}CD$ - прямоугольник.

$A_{1}D = \sqrt{AA_{1}^{2} + AD^{2}} = \sqrt{10^{2} + 5^{2} } = \sqrt{100 + 25} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$ см.

По формуле площади прямоугольника для прямоугольника $A_{1}B_{1}CD$:

$S_{A_{1}B_{1}CD} = S = A_{1}D \cdot CD = 5\sqrt{5} \cdot 12 = 60\sqrt{5}$ см².