917. Вершинами трикутника є точки А (-4; 1), В (−2; 4) і C (0; 1). Доведіть, що трикутник ABC — рівнобедрений, і знайдіть його площу.
Ответы на вопрос
Ответ:
Трикутник ABC є рівнобедреним, оскільки відрізок AB із координатами (-4; 1) і (-2; 4) має ту ж довжину, що і відрізок BC із координатами (-2; 4) і (0; 1). Отже, сторони AB і BC рівні, і трикутник ABC є рівнобедреним.
Щоб знайти площу трикутника, можемо скористатися формулою площі для рівнобедреного трикутника:
\[ S = \frac{1}{4} \sqrt{4a^2 - b^2} \]
де \(a\) - довжина основи (відрізок AC), \(b\) - довжина бічної сторони (відрізок AB).
Відстані між точками можна знайти за формулою відстані між двома точками в декартовій системі координат:
\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
Знаходимо відстані AC і AB:
\[ AC = \sqrt{(-4 - 0)^2 + (1 - 1)^2} = 4 \]
\[ AB = \sqrt{(-4 - (-2))^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \]
Тепер можемо обчислити площу:
\[ S = \frac{1}{4} \sqrt{4 \cdot 4^2 - (\sqrt{13})^2} = \frac{1}{4} \sqrt{64 - 13} = \frac{1}{4} \sqrt{51} \]
Отже, площа трикутника ABC дорівнює \(\frac{1}{4} \sqrt{51}\).