90.а)докажите,что диагонали трапеции в точке пересечения не делятся пополам
б) докажите,что четырехугольник, вершинам которого являются середины стороны равнобедренной трапеции, параллелограмм
Ответы на вопрос
Ответ:
а) Для доказательства, что диагонали трапеции в точке их пересечения не делятся пополам, давайте рассмотрим следующую ситуацию. Предположим, у нас есть равнобедренная трапеция ABCD, где AB и CD - основания трапеции, а AD и BC - боковые стороны. Пусть M - точка пересечения диагоналей AC и BD.
1. Диагонали AC и BD имеют одну общую точку M.
2. Давайте предположим, что диагонали делятся пополам. Это означает, что AM = MC и BM = MD.
3. Рассмотрим треугольники AMC и BMD. У нас есть AM = MC и BM = MD (по предположению), и угол AMC = угол BMD, так как они образуют вертикальные углы между параллельными прямыми AC и BD.
4. Из этих данных следует, что треугольники AMC и BMD равны по стороне-угол-стороне (SAS).
5. Однако это противоречит тому, что трапеция ABCD является равнобедренной, ибо равнобедренная трапеция имеет равные углы при основаниях и одинаковые длины диагоналей.
Таким образом, предположение о том, что диагонали делятся пополам, неверно, и мы доказали, что диагонали трапеции в точке пересечения не делятся пополам.
б) Давайте рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD с основаниями AB и CD и диагоналями AC и BD. Пусть E, F, G и H - середины сторон AD, AB, BC и CD соответственно.
1. Поскольку E - середина стороны AD, то AE = ED.
2. Аналогично, поскольку F - середина стороны AB, то AF = FB.
3. Поскольку G - середина стороны BC, то BG = GC.
4. Наконец, поскольку H - середина стороны CD, то CH = HD.
Теперь рассмотрим четырехугольник EFGH:
- Есть пара сторон с равными длинами: EF = FB (по пункту 2) и GH = GC (по пункту 3).
- Есть пара сторон с равными длинами: EH = HD (по пункту 4) и FG = GA (по пункту 1).
- Теперь давайте рассмотрим углы. У нас есть угол FEG, который равен углу BAD, так как они соответственные углы при параллельных прямых.
- Аналогично, угол HGF равен углу DCB.
Таким образом, у нас есть четырехугольник EFGH, у которого:
- Пара сторон с равными длинами.
- Пара сторон с равными длинами.
- Пара углов с равными мерами.
Эти условия означают, что EFGH - параллелограмм.