Question

5. Методом математичної індукції довести, що для будь-якого натурального п 3^2n+2 - 8n - 9 кратне 64

Answer 1

Ответ:

-

Пошаговое объяснение:

Дано $f(n) = 3^{2n+2} - 8n - 9$. Теперь давайте вычислим значение выражения $f(n+1) - f(n)$:

$f(n+1) = 3^{2(n+1)+2} - 8(n+1) - 9 = 3^{2n+4} - 8n - 17\\f(n) = 3^{2n+2} - 8n - 9\\\\f(n+1) - f(n) = 3^{2n+4} - 8n - 17 - (3^{2n+2} - 8n - 9) = (3^{2n+4} - 3^{2n+2}) - 8 = 3^{2n+2}(9 - 1) - 8 = 8(3^{2n+2} - 1) = 8(9^{n+1} - 1)$

Поскольку 9 от деления на 8 имеет остаток 1, то $9^{n+1}$ также будет иметь остаток 1 от деления на 8 при любых натуральных $n$. Следовательно, $9^{n+1} - 1$ будет всегда делиться на 8, а следовательно, $f(n+1) - f(n)$ будет всегда делиться на 8*8 = 64.

Мы осуществили переход индукции: если при каком-то $n$ $f(n)$ делится на 64, то при всех следующих за ним натуральных числах $f(k)$ также делится на 64 (так как сумма двух чисел, которые делятся на 64, также делится на 64).

Давайте теперь докажем базу индукции:

Подставим $n = 1$. $f(1) = 3^{2*1+2} - 8*1 - 9 =64$. 64 делится на 64. Следовательно, при всех натуральных числах, которые больше или равны 1 (то есть вообще всех натуральных числах) значение выражения делится на 64.

Задача решена.