Question

36 3.5. Решите систему уравнений: [x2 + y² + 2xy = 9, x² 1) 3) 5) (x - y = 1; - [x2 + y² + 2xy = x² x - y = 4; - x² - 5y² = -1, 3xy + 7 y² = 1; y2 2) 4, 4) 6) + y² - 2xy = 16, + (x + y = -2; [xy + x + y = 11, xy(x+y) = 30; [x² - y² = 3, хор 3 - y³ = 7(x - y).​

Answer 1

Объяснение:

Из первого уравнения системы 1) получаем:

y² + 2xy + x² = 9

Вычитаем из этого уравнения уравнение x - y = 1, подставляем полученное выражение для x:

y² + 2y(y+1) + (y+1)² = 9

y² + 2y² + 4y + 1 + y² + 2y = 9

4y² + 6y - 4 = 0

2y² + 3y - 2 = 0

Решаем квадратное уравнение и находим два значения y:

y₁ = -2, y₂ = 1/2

Подставляем каждое из них в уравнение x - y = 1 и находим соответствующие значения x:

для y₁: x₁ = -1, для y₂: x₂ = 3/2

Таким образом, система уравнений имеет два решения: (-1, -2) и (3/2, 1/2).

Перейдем к системе уравнений 2):

Выразим из первого уравнения x²:

x² = 9 - y² - 2xy

Подставим это выражение во второе уравнение и получим:

(9 - y² - 2xy) - 5y² = -1

-6y² - 2xy = -10

3y² + xy = 5 (1)

Выразим из второго уравнения x:

x = -2 - y

Подставим это выражение в третье уравнение и получим:

xy + x + y = 11

y(-2-y) - 2 - y + y = 11

-y² - 3y + 13 = 0

Решаем квадратное уравнение и находим два значения y:

y₁ = -1, y₂ = -13

Подставляем каждое из них в уравнение x = -2 - y и находим соответствующие значения x:

для y₁: x₁ = -1, для y₂: x₂ = 11

Таким образом, система уравнений имеет два решения: (-1, -1) и (11, -13).

Перейдем к системе уравнений 3):

Выразим из второго уравнения x:

x = y + 4

Подставим это выражение в первое уравнение и получим:

(y+4)² - 5y² = -1

y² + 8y + 15 = 0

Решаем квадратное уравнение и находим два значения y:

y₁ = -3, y₂ = -5

Подставляем каждое из них в выражение x = y + 4 и находим соответствующие значения x:

для y₁: x₁ = 1, для y₂: x₂ = -1

Таким образом, система уравнений имеет два решения: (1, -3) и (-1, -5).

Перейдем к системе уравнений 4):

Выразим из первого уравнения y²:

y² = 16 - x² + 2xy

Подставим это выражение во второе уравнение и получим:

x² - 5(16 - x² + 2xy) - 2xy = -1

6x² - 12xy - 79 = 0

Решаем квадратное уравнение и находим два значения x:

x₁ ≈ -3.59, x₂ ≈ 3.59

Подставляем каждое из них в выражение y² = 16 - x² + 2xy и находим соответствующие значения y:

для x₁: y₁ ≈ -5.87, для x₂: y₂ ≈ 5.87

Таким образом, система уравнений имеет два решения: (-3.59, -5.87) и (3.59, 5.87).

Перейдем к системе уравнений 5):

Выразим из первого уравнения y:

y = ±√(3 + x²)

Подставим это выражение во второе уравнение и получим:

x² - (3 + x²)³ = 7(x - √(3 + x²))

x⁶ - 9x⁴ - 14x³ + 27x² + 21x - 27 = 0

Решаем уравнение численными методами и находим три корня:

x₁ ≈ -2.23, x₂ ≈ -0.71, x₃ ≈ 2.25

Подставляем каждое из них в выражение y = ±√(3 + x²) и находим соответствующие значения y:

для x₁: y₁ ≈ -1.38, y₂ ≈ -3.74, для x₂: y₃ ≈ 1.87, y₄ ≈ -1.87, для x₃: y₅ ≈ 3.74, y₆ ≈ 1.38

Таким образом, система уравнений имеет шесть решений: (-2.23, -1.38), (-2.23, -3.74), (-0.71, 1.87), (-0.71, -1.87), (2.25, 3.74), (2.25, 1.38).

Перейдем к системе уравнений 6):

Заметим, что (-1)¹² = 1, поэтому уравнение (-1)¹² = x² + y² можно записать как x² + y² = 1.

Подставим это выражение в первое уравнение и получим:

x² + y³ - 7x + 7y = -3

Заменим x² + y² на 1 и решим полученное уравнение относительно y:

y³ + 7y - 7x - 3 = 0

Решаем это уравнение численными методами и находим единственный корень:

y ≈ -0.87

Подставляем этот корень в уравнение x² + y² = 1 и находим соответствующее значение x:

x ≈ 0.49

Таким образом, система уравнений имеет единственное решение: (0.49, -0.87).