Question

35 БАЛЛОВ, помогите пожалуйста
2. Найти интервалы монотонности функции:
y=-4x^3+12x-1

Answer 1

Ответ:

$(-\infty;\ -1)\! \downarrow,\ (-1;\ 1)\! \uparrow,\ (1; +\infty)\! \downarrow.$

Пошаговое объяснение:

Для нахождения интервалов монотонности функции $f(x)=-4x^3+12x-1$ воспользуемся производной этой функции. Из определения производной следует, что если она в заданной точке отрицательна, то в этой же точке исходная функция убывает, если положительна — исходная функция возрастает, а если равна нулю — исходная функция достигает экстремума.

Найдём тогда производную этой функции, $f'(x)$:

$f'(x)=(-4x^3+12x-1)'=(-4x^3)'+(12x)'-(1)'=\\=-4\cdot3x^2+12= -12x^2+12.$

Решим же теперь, на каких промежутках производная меньше нуля, а на каких — больше:

$\\-12x^2+12=0;\ \ |-\!12\\-12x^2=-12;\ \ \ \:\:\,| :\! (-12)\\x^2=1;\\x=\pm \sqrt 1 = \pm 1.$

Квадратичная функция имеет отрицательный старший коэффициент, поэтому ветви параболы, задаваемой ею, направлены вниз, следовательно, на интервале меж корнями она принимает положительные значения, а вне — отрицательные.

Получается, что производная отрицательна на интервалах $(-\infty;\ -1)$ и $(1;\ +\infty)$, а положительна на интервале $(-1; 1)$.

Отсюда делаем вывод, что на интервалах $(-\infty;\ -1)$ и $(1;\ +\infty)$ исходная функция убывает, а на интервале $(-1;\ 1)$ — возрастает. Эти интервалы и являются интервалами монотонности, то есть монотонного убывания/возрастания.