Question

3*9^x - 5*6^x + 2*4^x≥0

Answer 1

$3* 9^{x} -5* 6^{x} +2* 4^{x} geq 0 | : 4^{x} neq 0$
$6* frac{ 9^{x} }{ 4^{x} } -5* frac{ 6^{x} }{ 4^{x} } +2* frac{ 4^{x} }{ 4^{x} } geq 0$
$5* ( frac{9}{4} )^{x} -5* ( frac{6}{4} )^{x} +2*1 geq 0$
$6* (( frac{3}{2} )^{2} ) ^{x} -5* ( frac{3}{2} )^{x} +2 geq 0$
$6*( ( frac{3}{2} )^{x} )^{2} -5* ( frac{3}{2} )^{x} +2 geq 0$
- показательное квадратное неравенство, замена переменной:
$( frac{3}{2} )^{x}=t, t textgreater 0$
t²-5t+2≥0, метод интервалов:

1. t²-5t+2=0, t₁=4/6, t₂=1

2. ++++[4/6]--------[1]+++++++>t

3. t≤4/6, t≥1

обратная замена:
1. $t_{1} leq frac{4}{6} , ( frac{3}{2} )^{x} leq frac{4}{6} , ( frac{3}{2} )^{x} leq ( frac{3}{2} )^{-1}$
- простейшее показательное неравенство, основание степени а=3/2, 3/2>1.  => знак неравенства не меняем
x≤-1
2. $t_{1} geq 1, ( frac{3}{2} )^{x} geq 1, ( frac{3}{2} )^{x} geq ( frac{3}{2} )^{0}$
x≥0

ответ:  x∈(-∞; - 1]∪[0; ∞)