Question

2sin x cos 3x +sin 4x=0

Answer 1

$2sin xcos 3x+sin4x=0\ sin(x-3x)+sin(x+3x)+sin4x=0\ -sin2x+sin4x+sin4x=0\ 2sin4x-sin2x=0\ 4sin2xcos2x-sin2x=0\ sin2x(4cos2x-1)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равно нулю

$sin2x=0\ 2x=pi k,k in mathbb{Z}~~~~Rightarrow~~~ boxed{x_1=frac{pi k}{2},k in mathbb{Z}}\\ 4cos2x-1=0\ cos2x=frac{1}{4}\ 2x=pmarccosfrac{1}{4}+2pi n,n in mathbb{Z}~~~Rightarrow~~~ boxed{x_2=pmfrac{1}{2}arccosfrac{1}{4}+pi n,n in mathbb{Z}}$