Question

26. Внутри клетчатого прямоугольника закрашено несколько клеток, образую-
щих квадрат. Оказалось, что закрашенные клетки есть в 20% строк и в 45%
столбцов. Из скольких клеток может состоять такой прямоугольник?
(А) 1800 (Б) 900 (В) 450 (0) 300 (Д) 100​

Answer 1

Пусть прямоугольник содержит $a$ строк и $b$ столбцов. Найдем его площадь:

$S=ab$

По смыслу задачи это искомое число клеток прямоугольника. Обозначим его буквой М, где $Minmathbb{N}$:

$M=ab$

Закрашенные ячейки содержат $0.2a$ строк и $0.45b$ столбцов. Найдем площадь закрашенной области:

$S_0=0.2acdot0.45b=0.09ab$

$S_0=0.09M$

Но закрашенная область - это квадрат. Найдем его сторону:

$a_0=sqrt{S_0} =sqrt{0.09M}=0.3sqrt{M}$

Полученное число соответствует некоторому количеству клеток, а значит должно быть натуральным:

$0.3sqrt{M}inmathbb{N}$

Кроме этого, число $0.3sqrt{M}$ составляет 20 % и 45 % от натуральных чисел, выражающих количество строк и столбцов в исходном прямоугольнике. то есть:

$left(0.3sqrt{M}:0.2right)inmathbb{N}$

$left(0.3sqrt{M}:0.45right)inmathbb{N}$

Преобразуем числа:

$0.3sqrt{M}:0.2=0.3sqrt{M}:dfrac{1}{5} =5cdot0.3sqrt{M}$

$0.3sqrt{M}:0.45=dfrac{3}{10} sqrt{M}:dfrac{9}{20} =dfrac{3}{10} cdotdfrac{20}{9}sqrt{M}=dfrac{2}{3}sqrt{M}$

Заметим, что первое условие выполняется при ранее поставленном условии $0.3sqrt{M}inmathbb{N}$, поэтому его далее учитывать не будем.

Таким образом должно выполниться два условия:

$begin{cases} 0.3sqrt{M}inmathbb{N} \ dfrac{2}{3}sqrt{M}inmathbb{N}end{cases}$

Эти условия можно объединить в одно.

Если выполнятся условия $begin{cases} 0.1sqrt{M}inmathbb{N} \ dfrac{1}{3}sqrt{M}inmathbb{N}end{cases}$, то и предыдущие условия будут верны. А для проверки этих условий достаточно проверить, что $dfrac{1}{30}sqrt{M}inmathbb{N}$.

Варианты ответа 1800, 450, 300, очевидно, не подходят, потому что это не точные квадраты.

Проверяем вариант ответа 900:

$dfrac{1}{30}sqrt{900}=dfrac{1}{30}cdot30=1inmathbb{N}$

Проверяем вариант ответа 100:

$dfrac{1}{30}sqrt{100}=dfrac{1}{30}cdot10=dfrac{1}{3} notinmathbb{N}$

Ответ: Б) 900